ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.42 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

При каких значениях аргумента скорость изменения функции $y = f(x)$ равна скорости изменения функции $y = g(x)$:

а) $$$f(x) = \frac{1}{3}x^3 — x^2$, $$$g(x) = 7{,}5x^2 — 16x$;

Производные функций:

$$f'(x) = \frac{1}{3}(x^3)’ — (x^2)’ = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 — 2x = x^2 — 2x;$$ $$g'(x) = 7{,}5(x^2)’ — (16x)’ = 7{,}5 \cdot 2x — 16 = 15x — 16.$$

Значения переменной:

$$x^2 — 2x = 15x — 16;$$ $$x^2 — 17x + 16 = 0;$$ $$D = 17^2 — 4 \cdot 16 = 289 — 64 = 225,$$ $$x_1 = \frac{17 — 15}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{17 + 15}{2} = 16.$$

Ответ: 1; 16.

б) $$$f(x) = \sqrt{x}$, $$$g(x) = -\frac{1}{x}$;

Производные функций:

$$f'(x) = (\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}};$$ $$g'(x) = -\left( \frac{1}{x} \right)’ = -(-\frac{1}{x^2}) = \frac{1}{x^2}.$$

Значения переменной:

$$\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{x^2}, \quad x \ne 0;$$ $$x^2 = 2\sqrt{x};$$ $$x^4 = 4x;$$ $$x^3 = 4;$$ $$x = \sqrt[3]{4}.$$

Ответ: $\sqrt[3]{4}$.

Найти такие значения аргумента $x$, при которых скорость изменения функции $f(x)$ равна скорости изменения функции $g(x)$, то есть:

$$f'(x) = g'(x)$$

а) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 — x^2$,

$g(x) = 7{,}5x^2 — 16x$

Шаг 1: Найдём производную $f'(x)$

$$f(x) = \frac{1}{3}x^3 — x^2$$

• Производная суммы — это сумма производных:

$$f'(x) = \left( \frac{1}{3}x^3 \right)’ — (x^2)’ = \frac{1}{3} \cdot (x^3)’ — (x^2)’$$

• Напомним:
  • $(x^n)’ = nx^{n-1}$

$$f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 — 2x = x^2 — 2x$$

Шаг 2: Найдём производную $g'(x)$

$$g(x) = 7{,}5x^2 — 16x$$ $$g'(x) = (7{,}5x^2)’ — (16x)’ = 7{,}5 \cdot 2x — 16 = 15x — 16$$

Шаг 3: Приравниваем производные

$$f'(x) = g'(x) \Rightarrow x^2 — 2x = 15x — 16$$

Шаг 4: Переносим всё в одну сторону

$$x^2 — 2x — 15x + 16 = 0 \Rightarrow x^2 — 17x + 16 = 0$$

Шаг 5: Решим квадратное уравнение

$$x^2 — 17x + 16 = 0$$

• Найдём дискриминант:

$$D = (-17)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 16 = 289 — 64 = 225$$

• Корни:

$$x_{1,2} = \frac{17 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{17 \pm 15}{2} \Rightarrow \begin{cases} x_1 = \frac{2}{2} = 1 \\ x_2 = \frac{32}{2} = 16 \end{cases}$$

Ответ (а): $x = 1$; $x = 16$

б) $f(x) = \sqrt{x}$,  $g(x) = -\frac{1}{x}$

Шаг 1: Найдём $f'(x)$

$$f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$$ $$f'(x) = \left(x^{1/2} \right)’ = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Шаг 2: Найдём $g'(x)$

$$g(x) = -\frac{1}{x} = -x^{-1}$$ $$g'(x) = \left( -x^{-1} \right)’ = -(-1)x^{-2} = \frac{1}{x^2}$$

Шаг 3: Приравниваем производные

$$\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{x^2}, \quad x \ne 0$$

Шаг 4: Умножим обе части на $2\sqrt{x} \cdot x^2$ — наименьший общий знаменатель

Левая часть:

$$\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right) \cdot 2\sqrt{x} \cdot x^2 = x^2$$

Правая часть:

$$\left(\frac{1}{x^2}\right) \cdot 2\sqrt{x} \cdot x^2 = 2\sqrt{x}$$

Итак:

$$x^2 = 2\sqrt{x}$$

Шаг 5: Решим уравнение

$$x^2 = 2\sqrt{x}$$

Предположим: $\sqrt{x} = t$, тогда $x = t^2$

Подставим:

$$t^4 = 2t \Rightarrow t^4 — 2t = 0 \Rightarrow t(t^3 — 2) = 0$$

Решения:

• $t = 0 \Rightarrow x = 0$ (но $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, при $x = 0$ не определено)
• $t^3 = 2 \Rightarrow t = \sqrt[3]{2}$

$$\Rightarrow \sqrt{x} = \sqrt[3]{2} \Rightarrow x = (\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt[3]{4}$$

Ответ (б): $x = \sqrt[3]{4}$

Итоговые ответы:

а) $x = 1$; $x = 16$

б) $x = \sqrt[3]{4}$