ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.45 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Определить абсциссы точек, в которых касательные к графику
функции $y = h(x)$ образуют с положительным направлением оси
абсцисс заданный угол $a$:

а) $h(x) = x^2 — 3x + 19, \; a = 45^\circ$;

Производная функции:
$tg\,a = h'(x) = (x^2)’ + (-3x + 19)’ = 2x — 3$;
$tg\,a = tg\,45^\circ = 1$;

Значения переменной:
$2x — 3 = 1$;
$2x = 4$;
$x = \frac{4}{2} = 2$;

Ответ: 2.

б) $h(x) = \frac{4}{x+2}, \; a = 135^\circ$;

Производная функции:
$tg\,a = h'(x) = 4 \cdot 1 \cdot \left( -\frac{1}{(x+2)^2} \right) = -\frac{4}{(x+2)^2}$;
$tg\,a = tg\,135^\circ = tg(180^\circ — 45^\circ) = -tg\,45^\circ = -1$;

Значения переменной:
$-\frac{4}{(x+2)^2} = -1$;
$4 = (x+2)^2$;
$4 = x^2 + 4x + 4$;
$x^2 + 4x = 0$;
$(x+4)x = 0$;
$x_1 = -4$ и $x_2 = 0$;

Ответ: -4; 0.

в) $h(x) = 2\sqrt{2x — 4}, \; a = 60^\circ$;

Производная функции:
$tg\,a = h'(x) = 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2x — 4}} = \frac{2}{\sqrt{2x — 4}}$;
$tg\,a = tg\,60^\circ = \sqrt{3}$;

Значения переменной:
$\frac{2}{\sqrt{2x — 4}} = \sqrt{3}$;
$2 = \sqrt{3}(2x — 4)$;
$4 = 3(2x — 4)$;
$4 = 6x — 12$;
$6x = 16$;
$3x = 8$;
$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$;

Ответ: $2\frac{2}{3}$.

г) $h(x) = \sin\left(4x — \frac{\pi}{3}\right), \; a = 0^\circ$;

Производная функции:
$tg\,a = h'(x) = 4 \cdot \cos\left(4x — \frac{\pi}{3}\right)$;
$tg\,a = tg\,0^\circ = 0$;

Значения переменной:
$4\cos\left(4x — \frac{\pi}{3}\right) = 0$;
$\cos\left(4x — \frac{\pi}{3}\right) = 0$;
$4x — \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n$;
$x = \frac{1}{4} \left( \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{5\pi}{6} + \pi n \right) = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}$;

Ответ: $\frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}$.

Определить абсциссы точек, в которых касательные к графику функции $y = h(x)$ образуют с положительным направлением оси абсцисс заданный угол $a$:

а) $h(x) = x^2 — 3x + 19,\quad a = 45^\circ$

1. Производная функции

Находим производную $h(x)$:

$$h'(x) = (x^2)’ — (3x)’ + (19)’ = 2x — 3$$

2. Угловой коэффициент касательной

Касательная образует угол $a$ с осью $x$, её угловой коэффициент $k = \tan a$.

$$\tan 45^\circ = 1$$

3. Решаем уравнение

$$2x — 3 = 1 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$$

Ответ: $\boxed{2}$

б) $h(x) = \frac{4}{x+2},\quad a = 135^\circ$

1. Производная функции

Это дробно-рациональная функция. Производная:

$$h'(x) = \left( \frac{4}{x+2} \right)’ = 4 \cdot \left( -\frac{1}{(x+2)^2} \right) = -\frac{4}{(x+2)^2}$$

2. Угловой коэффициент касательной

$$\tan 135^\circ = \tan(180^\circ — 45^\circ) = -\tan 45^\circ = -1$$

3. Решаем уравнение

$$-\frac{4}{(x+2)^2} = -1 \Rightarrow \frac{4}{(x+2)^2} = 1 \Rightarrow (x+2)^2 = 4$$

Решим квадратное уравнение:

$$x+2 = \pm 2 \Rightarrow x = -4 \text{ или } x = 0$$

Ответ: $\boxed{-4; \; 0}$

в) $h(x) = 2\sqrt{2x — 4},\quad a = 60^\circ$

1. Производная функции

Применяем цепное правило:

$$h'(x) = 2 \cdot \left( \sqrt{2x — 4} \right)’ = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2x — 4}} \cdot 2 = \frac{2}{\sqrt{2x — 4}}$$

2. Угловой коэффициент касательной

$$\tan 60^\circ = \sqrt{3}$$

3. Решаем уравнение

$$\frac{2}{\sqrt{2x-4}}=\sqrt{3}\Rightarrow 2=\sqrt{3}\cdot \sqrt{2x-4}\Rightarrow 4=3(2x-4)\Rightarrow$$

$$\frac{2}{\sqrt{2x — 4}} = \sqrt{3} \Rightarrow 2 = \sqrt{3} \cdot \sqrt{2x — 4} \Rightarrow 4 = 3(2x — 4) \Rightarrow 4 = 6x — 12 \Rightarrow 6x = 16 \Rightarrow x = \frac{8}{3}$$

Проверка области определения:

$$2x — 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2 \Rightarrow x = \frac{8}{3} \text{ допустимо}$$

Ответ: $\boxed{\frac{8}{3}}$

г) $h(x) = \sin\left(4x — \frac{\pi}{3}\right),\quad a = 0^\circ$

1. Производная функции

$$h'(x) = \left( \sin\left(4x — \frac{\pi}{3} \right) \right)’ = \cos\left(4x — \frac{\pi}{3} \right) \cdot 4 = 4 \cos\left(4x — \frac{\pi}{3} \right)$$

2. Угловой коэффициент касательной

$$\tan 0^\circ = 0$$

3. Решаем уравнение

$$4 \cos\left(4x — \frac{\pi}{3} \right) = 0 \Rightarrow \cos\left(4x — \frac{\pi}{3} \right) = 0$$

Решение:

$$4x — \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow 4x = \frac{5\pi}{6} + \pi n \Rightarrow x = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle \frac{5\pi }{24}+\frac{\pi n}{4}}}$