ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.46 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти нули производной функции $y = f(x)$ на заданном отрезке:

а) $f(x) = \cos^2 x + 1 + \sin x$;
$f(x) = \frac{1 + \cos 2x}{2} + 1 + \sin x = \frac{1}{2} \cos 2x + \sin x + \frac{3}{2}$;

Производная функции:
$f'(x) = \frac{1}{2} (\cos 2x)’ + (\sin x)’ + \left( \frac{3}{2} \right)’$;
$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (-\sin 2x) + \cos x + 0 = \cos x — \sin 2x$;

Значения переменной:
$\cos x — \sin 2x = 0$;
$\cos x — 2 \sin x \cdot \cos x = 0$;
$\cos x \cdot (1 — 2 \sin x) = 0$;

Первое уравнение:
$\cos x = 0$;
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

Второе уравнение:
$1 — 2 \sin x = 0$;
$\sin x = \frac{1}{2}$;
$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$;

Значения на отрезке $[0; 2]$:
$x_1 = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{2}$;
$x_2 = (-1)^0 \cdot \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{6}$;

Ответ: $\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}$.

б) $f(x) = \sin^2 x — \cos x — 1$;
$f(x) = \frac{1 — \cos 2x}{2} — \cos x — 1 = -\frac{1}{2} \cos 2x — \cos x — \frac{1}{2}$;

Производная функции:
$f'(x) = -\frac{1}{2} (\cos 2x)’ — (\cos x)’ — \left( \frac{1}{2} \right)’$;
$f'(x) = -\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (-\sin 2x) — (-\sin x) — 0 = \sin 2x + \sin x$;

Значения переменной:
$\sin 2x + \sin x = 0$;
$2 \sin x \cdot \cos x + \sin x = 0$;
$\sin x \cdot (2 \cos x + 1) = 0$;

Первое уравнение:
$\sin x = 0$;
$x = \pi n$;

Второе уравнение:
$2 \cos x + 1 = 0$;
$\cos x = -\frac{1}{2}$;
$x = \pm \arccos \left( -\frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$;

Значения на отрезке $\left[ \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right]$:
$x_1 = \pi \cdot 1 = \pi$;
$x_2 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi \cdot 0 = \frac{2\pi}{3}$;
$x_3 = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi \cdot 1 = \frac{4\pi}{3}$;

Ответ: $\frac{2\pi}{3}; \pi; \frac{4\pi}{3}$.

Найти нули производной функции $y = f(x)$ на заданном отрезке.

а) $f(x) = \cos^2 x + 1 + \sin x$, отрезок: $[0; 2]$

1. Преобразуем выражение:

Используем формулу:

$$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$$

Тогда:

$$f(x) = \frac{1 + \cos 2x}{2} + 1 + \sin x = \frac{1}{2} \cos 2x + \sin x + \frac{3}{2}$$

2. Найдём производную $f'(x)$:

$$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} \cos 2x + \sin x + \frac{3}{2} \right)$$

• $\frac{d}{dx} (\cos 2x) = -2\sin 2x$, поэтому

$$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} \cos 2x \right) = \frac{1}{2} \cdot (-2 \sin 2x) = -\sin 2x$$

• $\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$
• $\frac{d}{dx} \left( \frac{3}{2} \right) = 0$

Итак:

$$f'(x) = \cos x — \sin 2x$$

3. Найдём нули производной:

Решим уравнение:

$$\cos x — \sin 2x = 0$$

Подставим формулу:

$$\sin 2x = 2\sin x \cos x$$

Подставим:

$$\cos x — 2\sin x \cos x = 0$$

Вынесем $\cos x$ за скобки:

$$\cos x (1 — 2\sin x) = 0$$

Решаем два уравнения:

I. $\cos x = 0$

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

На отрезке $[0; 2]$:

• $x = \frac{\pi}{2} \approx 1.57 \in [0; 2]$

II. $1 — 2\sin x = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2}$

$$x = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$

или

$$x = \pi — \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

На отрезке $[0; 2]$:

• $\frac{\pi}{6} \approx 0.52$
• $\frac{5\pi}{6} \approx 2.61 > 2$ — не входит

Подходит только:

• $x = \frac{\pi}{6}$

4. Ответ к пункту а:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{6};\ \frac{\pi}{2}}$$

б) $f(x) = \sin^2 x — \cos x — 1$, отрезок: $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right]$

1. Упростим выражение:

$$\sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2}$$ $$f(x) = \frac{1 — \cos 2x}{2} — \cos x — 1 = -\frac{1}{2} \cos 2x — \cos x — \frac{1}{2}$$

2. Найдём производную $f'(x)$:

$$f'(x) = \frac{d}{dx} \left(-\frac{1}{2} \cos 2x — \cos x — \frac{1}{2} \right)$$

• $\frac{d}{dx} (\cos 2x) = -2\sin 2x$, значит:

$$\frac{d}{dx} \left(-\frac{1}{2} \cos 2x \right) = -\frac{1}{2} \cdot (-2 \sin 2x) = \sin 2x$$

• $\frac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x$
• Производная $-\frac{1}{2}$ равна нулю.

Итак:

$$f'(x) = \sin 2x + \sin x$$

3. Найдём нули производной:

$$\sin 2x + \sin x = 0$$

Распишем $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$$2\sin x \cos x + \sin x = 0$$

Вынесем $\sin x$:

$$\sin x (2\cos x + 1) = 0$$

Решим два уравнения:

I. $\sin x = 0$

$$x = \pi n$$

На отрезке $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$:

• $x = \pi$

II. $2\cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{1}{2}$

$$x = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3},\quad \frac{4\pi}{3}$$

На отрезке $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right] \approx [1.57; 4.71]$:

• $\frac{2\pi}{3} \approx 2.09 \in [\dots]$
• $\frac{4\pi}{3} \approx 4.19 \in [\dots]$

4. Ответ к пункту б:

$$\boxed{{\displaystyle x=\frac{2\pi }{3};\pi ;\frac{4\pi }{3}}}$$$$x = \boxed{ \frac{2\pi}{3};\ \pi;\ \frac{4\pi}{3} }$$