ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.47 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти значения аргумента, удовлетворяющие условию $f'(x) \leq g'(x)$:

а) $$$f(x) = \sin x \cdot \cos x$, $g(x) = \frac{1}{2}x + 61$;

Производные функций:
$f'(x) = (\sin x)’ \cdot \cos x + \sin x \cdot (\cos x)’$;
$f'(x) = \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot (-\sin x) = \cos(x + x) = \cos 2x$;
$g'(x) = \left( \frac{1}{2}x + 61 \right)’ = \frac{1}{2}$;

Значения переменной:
$\cos 2x \leq \frac{1}{2}$;
$\arccos \frac{1}{2} + 2\pi n \leq 2x \leq 2\pi — \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n$;
$\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq 2x \leq 2\pi — \frac{\pi}{3} + 2\pi n$;
$\frac{\pi}{6} + \pi n \leq x \leq \frac{5\pi}{6} + \pi n$;

Ответ: $$$x \in \left[ \frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{5\pi}{6} + \pi n \right]$

б) $$$f(x) = \sin x \cdot \cos 2x + \sin 2x \cdot \cos x$, $g(x) = 35 — 3x$;
$f(x) = \sin(2x + x) = \sin 3x$;

Производные функций:
$f'(x) = 3 \cdot \cos 3x$;
$g'(x) = (35 — 3x)’ = -3$;

Значения переменной:
$3 \cdot \cos 3x \leq -3$;
$\cos 3x \leq -1$;
$\cos 3x = -1$;
$3x = \pi + 2\pi n$;
$x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}$;

Ответ: $$$x \in \left\{ \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3} \right\}$

в) $$$f(x) = \sin^2 x — \cos^2 x$, $g(x) = -2x + 9$;
$f(x) = -(\cos^2 x — \sin^2 x) = -\cos 2x$;

Производные функций:
$f'(x) = -1 \cdot 2 \cdot (-\sin 2x) = 2 \sin 2x$;
$g'(x) = (-2x + 9)’ = -2$;

Значения переменной:
$2 \sin 2x \leq -2$;
$\sin 2x \leq -1$;
$\sin 2x = -1$;
$2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$;
$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$;

Ответ: $$$x \in \left\{ -\frac{\pi}{4} + \pi n \right\}$

г) $$$f(x) = x \cdot \cos x$, $g(x) = \sin x$;

Производные функций:
$f'(x) = (x)’ \cdot \cos x + x \cdot (\cos x)’$;
$f'(x) = \cos x — x \cdot \sin x$;
$g'(x) = (\sin x)’ = \cos x$;

Значения переменной:
$\cos x — x \cdot \sin x \leq \cos x$;
$-x \cdot \sin x \leq 0$;

Если $x \geq 0$, тогда:
$\sin x \geq 0$;
$2\pi n \leq x \leq \pi + 2\pi n,\quad n \geq 0$;

Если $x \leq 0$, тогда:
$\sin x \leq 0$;
$-\pi + 2\pi n \leq x \leq 2\pi n,\quad n \leq 0$;

Ответ: $$$x \in [2\pi n;\ \pi + 2\pi n]$, если $n \geq 0$;
$x \in [-\pi + 2\pi n;\ 2\pi n]$, если $n \leq 0$.

Найти значения аргумента $x$, удовлетворяющие условию:

$$f'(x) \leq g'(x)$$

а)

$$f(x) = \sin x \cdot \cos x,\quad g(x) = \frac{1}{2}x + 61$$

1. Находим производные:

Функция $f(x)$:
Это произведение двух функций: $\sin x \cdot \cos x$.
Используем правило производной произведения:

$$f'(x) = (\sin x)’ \cdot \cos x + \sin x \cdot (\cos x)’ = \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot (-\sin x)$$ $$f'(x) = \cos^2 x — \sin^2 x = \cos(2x)$$

Функция $g(x)$:

$$g'(x) = \left( \frac{1}{2}x + 61 \right)’ = \frac{1}{2}$$

2. Сравниваем производные:

$$f'(x) \leq g'(x) \Rightarrow \cos(2x) \leq \frac{1}{2}$$

3. Решаем неравенство $\cos(2x) \leq \frac{1}{2}$:

Решим:

$$\cos(2x) \leq \frac{1}{2}$$

Для косинуса:

$$\cos(\theta) \leq \frac{1}{2} \Rightarrow \theta \in \left[ \arccos\left(\frac{1}{2}\right), 2\pi — \arccos\left(\frac{1}{2}\right) \right] + 2\pi n$$

Значение:

$$\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$$

Значит:

$$2x \in \left[ \frac{\pi}{3} + 2\pi n,\ 2\pi — \frac{\pi}{3} + 2\pi n \right] = \left[ \frac{\pi}{3} + 2\pi n,\ \frac{5\pi}{3} + 2\pi n \right]$$

Делим на 2:

$$x \in \left[ \frac{\pi}{6} + \pi n,\ \frac{5\pi}{6} + \pi n \right]$$

Ответ а:

$$x \in \left[ \frac{\pi}{6} + \pi n;\ \frac{5\pi}{6} + \pi n \right]$$

б)

$$f(x) = \sin x \cdot \cos 2x + \sin 2x \cdot \cos x,\quad g(x) = 35 — 3x$$

1. Упрощаем выражение $f(x)$:

Объединим:

$$f(x) = \sin x \cdot \cos 2x + \sin 2x \cdot \cos x$$

Используем формулу:

$$\sin A \cos B + \cos A \sin B = \sin(A + B)$$

Тогда:

$$f(x) = \sin(x + 2x) = \sin(3x)$$

2. Производные:

$$f'(x) = (\sin 3x)’ = 3 \cos 3x$$ $$g'(x) = (35 — 3x)’ = -3$$

3. Решаем неравенство:

$$3 \cos 3x \leq -3 \Rightarrow \cos 3x \leq -1$$

Максимально возможное значение $\cos 3x = -1$, то есть:

$$\cos 3x = -1 \Rightarrow 3x = \pi + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}$$

Ответ б:

$$x \in \left\{ \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3} \right\}$$

в)

$$f(x) = \sin^2 x — \cos^2 x,\quad g(x) = -2x + 9$$

1. Упрощаем:

$$f(x) = \sin^2 x — \cos^2 x = -(\cos^2 x — \sin^2 x) = -\cos 2x$$

2. Производные:

$$f'(x) = (-\cos 2x)’ = -(-2 \sin 2x) = 2 \sin 2x$$ $$g'(x) = (-2x + 9)’ = -2$$

3. Решаем неравенство:

$$2 \sin 2x \leq -2 \Rightarrow \sin 2x \leq -1$$

Максимально возможное значение:

$$\sin 2x = -1 \Rightarrow 2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

Ответ в:

$$x \in \left\{ -\frac{\pi}{4} + \pi n \right\}$$

г)

$$f(x) = x \cdot \cos x,\quad g(x) = \sin x$$

1. Производные:

$$f'(x) = (x)’ \cdot \cos x + x \cdot (\cos x)’ = \cos x — x \cdot \sin x$$ $$g'(x) = (\sin x)’ = \cos x$$

2. Сравниваем:

$$f'(x) \leq g'(x) \Rightarrow \cos x — x \cdot \sin x \leq \cos x$$

Убираем $\cos x$:

$$— x \cdot \sin x \leq 0$$

3. Решаем неравенство $-x \cdot \sin x \leq 0$:

Случай 1: $x \geq 0 \Rightarrow \sin x \geq 0$

$$x \in [2\pi n; \pi + 2\pi n],\quad n \geq 0$$

Случай 2: $x \leq 0 \Rightarrow \sin x \leq 0$

$$x \in [-\pi + 2\pi n; 2\pi n],\quad n \leq 0$$

Ответ г:

$$x \in [2\pi n;\ \pi + 2\pi n],\quad n \geq 0$$ $$x \in [-\pi + 2\pi n;\ 2\pi n],\quad n \leq 0$$

Итоговые ответы:

а) $x \in \left[ \frac{\pi}{6} + \pi n;\ \frac{5\pi}{6} + \pi n \right]$

б) $x \in \left\{ \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3} \right\}$

в) $x \in \left\{ -\frac{\pi}{4} + \pi n \right\}$

г) $x \in [2\pi n;\ \pi + 2\pi n],\; n \geq 0$,
$x\in [-\pi +2\pi n;2\pi n],n\le 0$