ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.49 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Укажите, какой формулой можно задать функцию у = f(x), если:

а) $f^{\mathrm{\prime }}(x)=6(2x-1{)}^2$

б) $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-20(4-5x{)}^3$

Указать, какой формулой можно задать функцию $y = f(x)$, если:

а) $f'(x) = 6(2x — 1)^2 = 2 \cdot 3(2x — 1)^{3-1}$;

Ответ: $f(x) = (2x — 1)^3 + C$.

б) $f'(x) = -20(4 — 5x)^3 = -5 \cdot 4(4 — 5x)^{4-1}$;

Ответ: $f(x) = (4 — 5x)^4 + C$.

а) $f'(x) = 6(2x — 1)^2$

Шаг 1: Узнаём структуру производной

Вид:

$$f'(x) = 6(2x — 1)^2$$

Заметим:

$$6(2x — 1)^2 = 2 \cdot 3(2x — 1)^2$$

И мы можем представить это как:

$$f'(x) = 2 \cdot 3(2x — 1)^{3 — 1}$$

Шаг 2: Сравнение с производной сложной функции

Напомним, что производная функции вида:

$$F(x) = (u(x))^n \Rightarrow F'(x) = n \cdot u'(x) \cdot (u(x))^{n — 1}$$

Попробуем найти $u(x)$, такое что:

$$f'(x) = n \cdot u'(x) \cdot (u(x))^{n — 1}$$

В нашем случае:

• $u(x) = 2x — 1$
• $u'(x) = 2$
• $n = 3$

Подставим:

$$f'(x) = 3 \cdot 2 \cdot (2x — 1)^2 = 6(2x — 1)^2$$

Совпадает!

Шаг 3: Восстановление функции

$$f(x) = (2x — 1)^3 + C$$

Ответ (а):

$$f(x) = (2x — 1)^3 + C$$

б) $f'(x) = -20(4 — 5x)^3$

Шаг 1: Приводим производную к стандартному виду

$$f'(x) = -20(4 — 5x)^3 = -5 \cdot 4(4 — 5x)^3 = -5 \cdot 4(4 — 5x)^{4 — 1}$$

Шаг 2: Ищем соответствие формуле

Формула производной сложной функции:

$$\frac{d}{dx}[(u(x))^n] = n \cdot u'(x) \cdot (u(x))^{n — 1}$$

Пусть:

• $u(x) = 4 — 5x$
• $u'(x) = -5$
• $n = 4$

Тогда:

$$f'(x) = 4 \cdot (-5) \cdot (4 — 5x)^{4 — 1} = -20(4 — 5x)^3$$

Совпадает!

Шаг 3: Восстановим первообразную

$$f(x) = (4 — 5x)^4 + C$$

Ответ (б):

$$f(x)=(4-5x{)}^4+C$$