ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.50 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{2}{(2x+3{)}^2}$

б) $$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{5}{2\sqrt{5x-7}}$

Указать, какой формулой можно задать функцию $y = f(x)$, если:

а) $$$f'(x) = -\frac{2}{(2x + 3)^2} = 2 \cdot \left( -\frac{1}{(2x + 3)^2} \right)$;

Ответ: $$$f(x) = \frac{1}{2x + 3} + C$.

б) $$$f'(x) = \frac{5}{2\sqrt{5x — 7}} = 5 \cdot \frac{1}{2\sqrt{5x — 7}}$;

Ответ: $$$f(x) = \sqrt{5x — 7} + C$.

Указать, какой формулой можно задать функцию $y = f(x)$, если:

а) $f'(x) = -\dfrac{2}{(2x + 3)^2}$

Шаг 1: Узнаем, какую производную мы видим

Выражение

$$f'(x) = -\dfrac{2}{(2x + 3)^2}$$

похоже на производную дробно-рациональной функции вида:

$$\left( \dfrac{1}{u(x)} \right)’ = \dfrac{-u'(x)}{(u(x))^2}$$

Значит, это может быть производная от:

$$f(x) = \dfrac{1}{2x + 3}$$

Проверим это вычислением производной.

Шаг 2: Найдём производную $f(x) = \dfrac{1}{2x + 3}$

Используем формулу:

$$\left( \dfrac{1}{u(x)} \right)’ = \dfrac{-u'(x)}{(u(x))^2}$$

Здесь:

• $u(x) = 2x + 3$
• $u'(x) = 2$

Тогда:

$$f'(x) = \dfrac{-2}{(2x + 3)^2}$$

Это совпадает с данным выражением.

Ответ на пункт а:

$$f(x) = \dfrac{1}{2x + 3} + C$$

где $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

б) $f'(x) = \dfrac{5}{2\sqrt{5x — 7}}$

Шаг 1: Вспомним производную корня

Производная от:

$$\sqrt{u(x)} = (u(x))^{1/2} \Rightarrow \left( \sqrt{u(x)} \right)’ = \dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$$

Нам дано:

$$f'(x) = \dfrac{5}{2\sqrt{5x — 7}}$$

То есть это 5 раз производная от $\sqrt{5x — 7}$

Шаг 2: Проверим

Возьмём $f(x) = \sqrt{5x — 7}$

Тогда:

• $u(x) = 5x — 7$
• $u'(x) = 5$

$$f'(x) = \dfrac{5}{2\sqrt{5x — 7}}$$

Совпадает с данным выражением.

Ответ на пункт б:

$$f(x) = \sqrt{5x — 7} + C$$

где $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

Итог:

а) $f(x) = \dfrac{1}{2x + 3} + C$

б) $f(x)=\sqrt{5x-7}+C$