ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.52 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) При каких значениях параметра а касательные к графику функции у = 4x² — |а|x, проведённые в точках его пересечения с осью x, образуют между собой угол 60?

б) При каких значениях параметра а касательные к графику функции у = х² + |а|х, проведённые в точках его пересечения с осью х, образуют между собой угол 45?

При каких значениях параметра $a$ касательные к графику функции $y = f(x)$, проведенные в точках его пересечения с осью $x$, образуют между собой заданный угол:

а) $f(x) = 4x^2 — |a|x$;

Производная функции:
$k = f'(x) = 4(x^2)’ — (|a|x)’ = 4 \cdot 2x — |a| = 8x — |a|$;

Точки пересечения с осью $x$:
$4x^2 — |a|x = 0$;
$x(4x — |a|) = 0$;
$x_1 = 0, \quad x_2 = \frac{1}{4}|a|$;

Угловые коэффициенты касательных:
$k_1 = 8 \cdot 0 — |a| = -|a|$;
$k_2 = 8 \cdot \frac{1}{4}|a| — |a| = 2|a| — |a| = |a|$;

Угол между касательными равен $60^\circ$, если:

$$\frac{k_2 — k_1}{1 + k_2 \cdot k_1} = \pm \operatorname{tg} 60^\circ;$$ $$\frac{|a| — (-|a|)}{1 — |a| \cdot |a|} = \pm \sqrt{3};$$ $$\frac{2|a|}{1 — a^2} = \pm \sqrt{3};$$ $$2|a| = \pm \sqrt{3}(1 — a^2);$$ $$\pm \sqrt{3}a^2 + 2|a| \mp \sqrt{3} = 0;$$

Функция является чётной, поэтому:
$\pm \sqrt{3}a^2 \pm 2a \mp \sqrt{3} = 0$;

$D = 2^2 + 4 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 + 12 = 16$, тогда:
$a_1 = \frac{-2 — 4}{2 \cdot (\pm \sqrt{3})} = -\frac{2}{\pm 2\sqrt{3}} = \mp \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$;
$a_2 = \frac{2 + 4}{2 \cdot (\pm \sqrt{3})} = \frac{6}{\pm 2\sqrt{3}} = \pm \frac{3}{\sqrt{3}} = \pm \sqrt{3}$;

Ответ:$$$\pm \frac{\sqrt{3}}{3}; \pm \sqrt{3}$

б) $f(x) = x^2 + |a|x$;

Производная функции:
$k = f'(x) = (x^2)’ + (|a|x)’ = 2x + |a|$;

Точки пересечения с осью $x$:
$x^2 + |a|x = 0$;
$x(x + |a|) = 0$;
$x_1 = 0, \quad x_2 = -|a|$;

Угловые коэффициенты касательных:
$k_1 = 2 \cdot 0 + |a| = |a|$;
$k_2 = 2 \cdot (-|a|) + |a| = -|a|$;

Угол между касательными равен $45^\circ$, если:

$$\frac{k_1 — k_2}{1 + k_1 \cdot k_2} = \pm \operatorname{tg} 45^\circ;$$ $$\frac{|a| — (-|a|)}{1 — |a| \cdot |a|} = \pm 1;$$ $$\frac{2|a|}{1 — a^2} = \pm 1;$$ $$2|a| = \pm (1 — a^2);$$ $$\pm a^2 + 2|a| \mp 1 = 0;$$

Функция является чётной, поэтому:
$\pm a^2 \pm 2a \mp 1 = 0$;

$D = 2^2 + 4 = 4 + 4 = 8 = 4 \cdot 2$, тогда:
$a_1 = \frac{-2 — \sqrt{8}}{2 \cdot (\pm 1)} = \frac{-2 — 2\sqrt{2}}{\pm 2} = \mp (1 + \sqrt{2}) = \pm 1 \mp \sqrt{2}$;
$a_2 = \frac{-2 + \sqrt{8}}{2 \cdot (\pm 1)} = \frac{-2 + 2\sqrt{2}}{\pm 2} = \mp (1 — \sqrt{2}) = \pm 1 \pm \sqrt{2}$;

Ответ:$\pm \sqrt{2} \pm 1$

а) $f(x) = 4x^2 — |a|x$, угол между касательными: $60^\circ$

Шаг 1: Найдём производную функции

Функция:

$$f(x) = 4x^2 — |a|x$$

Производная (угловой коэффициент касательной):

$$f'(x) = (4x^2)’ — (|a|x)’ = 8x — |a|$$

Шаг 2: Найдём точки пересечения графика с осью $x$

Точки пересечения с осью $x$ — это точки, в которых $f(x) = 0$:

$$4x^2 — |a|x = 0 \Rightarrow x(4x — |a|) = 0$$

Решаем:

$$x_1 = 0, \quad x_2 = \frac{|a|}{4}$$

Шаг 3: Найдём угловые коэффициенты касательных в этих точках

• В точке $x_1 = 0$:

$$k_1 = f'(0) = 8 \cdot 0 — |a| = -|a|$$

• В точке $x_2 = \frac{|a|}{4}$:

$$k_2 = f’\left( \frac{|a|}{4} \right) = 8 \cdot \frac{|a|}{4} — |a| = 2|a| — |a| = |a|$$

Шаг 4: Используем формулу угла между касательными

Угол между прямыми с угловыми коэффициентами $k_1$ и $k_2$:

$$\tan \theta = \left| \frac{k_2 — k_1}{1 + k_1 k_2} \right|$$

По условию: $\theta = 60^\circ$, следовательно:

$$\left| \frac{|a| — (-|a|)}{1 + (-|a|)(|a|)} \right| = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$$

Преобразуем:

$$\left| \frac{2|a|}{1 — a^2} \right| = \sqrt{3}$$

Уберём модуль — это даёт два случая:

$$\frac{2|a|}{1 — a^2} = \pm \sqrt{3}$$

Шаг 5: Решим полученное уравнение

Умножим обе части на знаменатель:

$$2|a| = \pm \sqrt{3}(1 — a^2)$$

Распишем:

$$\pm \sqrt{3}a^2 + 2|a| \mp \sqrt{3} = 0$$

Поскольку $|a| = a$ (можем считать $a \geq 0$, а потом отразим на отрицательные), получаем:

$$\pm \sqrt{3}a^2 + 2a \mp \sqrt{3} = 0$$

Умножим на знак $\pm$ (решим оба случая):

Случай 1:

$$\sqrt{3}a^2 + 2a — \sqrt{3} = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 4 + 4 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 + 12 = 16$$ $$a_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2\sqrt{3}} = \frac{-2 \pm 4}{2\sqrt{3}}$$ $$a_1 = \frac{-6}{2\sqrt{3}} = -\frac{3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3}, \quad a_2 = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Случай 2:

$$-\sqrt{3}a^2 + 2a + \sqrt{3} = 0$$

Решим:

$$D = 4 + 4 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 + 12 = 16$$ $$a_{1,2} = \frac{-2 \pm 4}{-2\sqrt{3}}$$ $$a_1 = \frac{-6}{-2\sqrt{3}} = \sqrt{3}, \quad a_2 = \frac{2}{-2\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Ответ:

$$a = \pm \sqrt{3}; \quad a = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$$

б) $f(x) = x^2 + |a|x$, угол между касательными: $45^\circ$

Шаг 1: Найдём производную функции

$$f(x) = x^2 + |a|x \Rightarrow f'(x) = 2x + |a|$$

Шаг 2: Найдём точки пересечения с осью $x$

$$x^2 + |a|x = 0 \Rightarrow x(x + |a|) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, \quad x_2 = -|a|$$

Шаг 3: Угловые коэффициенты касательных

• $k_1 = f'(0) = |a|$
• $k_2 = f'(-|a|) = -2|a| + |a| = -|a|$

Шаг 4: Формула угла между касательными

$$\left| \frac{|a| — (-|a|)}{1 + |a| \cdot (-|a|)} \right| = \tan 45^\circ = 1 \Rightarrow \left| \frac{2|a|}{1 — a^2} \right| = 1$$

Решаем:

$$\frac{2|a|}{1 — a^2} = \pm 1 \Rightarrow 2|a| = \pm (1 — a^2)$$

Положим $|a| = a \geq 0$. Тогда:

$$2a = \pm (1 — a^2) \Rightarrow \pm a^2 + 2a \mp 1 = 0$$

Случай 1:

$$a^2 + 2a — 1 = 0$$ $$D = 4 + 4 = 8 \Rightarrow a_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$$

Случай 2:

$$-a^2 + 2a + 1 = 0 \Rightarrow a^2 — 2a — 1 = 0 \Rightarrow a_{1,2} = 1 \pm \sqrt{2}$$

Ответ:

$$a = \pm (1 + \sqrt{2}), \quad a = \pm (1 — \sqrt{2})$$

Итог:

а) $a = \pm \sqrt{3}, \; \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

б) $a=\pm (1+\sqrt{2}),\pm (1-\sqrt{2})$