ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти скорость изменения функции $y = h(x)$ в точке $x_0$, если:

а) $h(x) = \frac{1}{x},\ x_0 = -2$;
$h'(x) = \left( \frac{1}{x} \right)’ = -\frac{1}{x^2}$;
$h'(-2) = -\frac{1}{(-2)^2} = -\frac{1}{4} = -0{,}25$;
Ответ: $-0{,}25$.

б) $h(x) = \sin x,\ x_0 = -\frac{\pi}{2}$;
$h'(x) = (\sin x)’ = \cos x$;
$h’\left( -\frac{\pi}{2} \right) = \cos\left( -\frac{\pi}{2} \right) = \cos\frac{\pi}{2} = 0$;
Ответ: $0$.

в) $h(x) = x^2,\ x_0 = -0{,}1$;
$h'(x) = (x^2)’ = 2x$;
$h'(-0{,}1) = 2 \cdot (-0{,}1) = -0{,}2$;
Ответ: $-0{,}2$.

г) $h(x) = \cos x,\ x_0 = \pi$;
$h'(x) = (\cos x)’ = -\sin x$;
$h'(\pi) = -\sin \pi = 0$;
Ответ: $0$.

а) $h(x) = \dfrac{1}{x},\quad x_0 = -2$

Шаг 1: Представим функцию как степень

$$h(x) = x^{-1}$$

Шаг 2: Используем формулу производной степенной функции

$$h'(x) = \frac{d}{dx}(x^{-1}) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$$

Шаг 3: Подставим $x_0 = -2$

$$h'(-2) = -\frac{1}{(-2)^2} = -\frac{1}{4}$$

Шаг 4: Переведём в десятичную дробь

$$-\frac{1}{4} = -0{,}25$$

Ответ: $\boxed{-0{,}25}$

б) $h(x) = \sin x,\quad x_0 = -\dfrac{\pi}{2}$

Шаг 1: Производная синуса

$$h'(x) = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$$

Шаг 2: Подставим $x_0 = -\dfrac{\pi}{2}$

$$h’\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)$$

Шаг 3: Используем чётность косинуса

$$\cos(-x) = \cos x \Rightarrow \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)$$

Шаг 4: Подставим значение

$$\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$$

Ответ: $\boxed{0}$

в) $h(x) = x^2,\quad x_0 = -0{,}1$

Шаг 1: Производная степенной функции

$$h'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$$

Шаг 2: Подставим $x_0 = -0{,}1$

$$h'(-0{,}1) = 2 \cdot (-0{,}1) = -0{,}2$$

Ответ: $\boxed{-0{,}2}$

г) $h(x) = \cos x,\quad x_0 = \pi$

Шаг 1: Производная косинуса

$$h'(x) = \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$$

Шаг 2: Подставим $x_0 = \pi$

$$h'(\pi) = -\sin(\pi)$$

Шаг 3: Подставим значение синуса

$$\sin(\pi) = 0 \Rightarrow -\sin(\pi) = -0 = 0$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 0}}$