ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$:

а) $f(x) = x^2, \; x_0 = -4$;
$f'(x) = (x^2)’ = 2x$;
$k = f'(-4) = 2 \cdot (-4) = -8$;
Ответ: $-8$.

б) $f(x) = \frac{1}{x}, \; x_0 = -\frac{1}{3}$;
$f'(x) = \left(\frac{1}{x}\right)’ = -\frac{1}{x^2}$;
$k = f’\left(-\frac{1}{3}\right) = -1 : \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = -1 : \frac{1}{9} = -9$;
Ответ: $-9$.

в) $f(x) = \frac{1}{x}, \; x_0 = \frac{1}{2}$;
$f'(x) = \left(\frac{1}{x}\right)’ = -\frac{1}{x^2}$;
$k = f’\left(\frac{1}{2}\right) = -1 : \left(\frac{1}{2}\right)^2 = -1 : \frac{1}{4} = -4$;
Ответ: $-4$.

г) $f(x) = x^2, \; x_0 = 2$;
$f'(x) = (x^2)’ = 2x$;
$k = f'(2) = 2 \cdot 2 = 4$;
Ответ: $4$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке:

$$k = f'(x_0)$$

а) $f(x) = x^2, \quad x_0 = -4$

Шаг 1: Найдём производную функции

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$$

Шаг 2: Подставим значение $x_0 = -4$

$$f'(-4) = 2 \cdot (-4) = -8$$

Это и есть угловой коэффициент касательной.

Ответ: $\boxed{-8}$

б) $f(x) = \dfrac{1}{x}, \quad x_0 = -\dfrac{1}{3}$

Шаг 1: Представим функцию в виде степени

$$f(x) = x^{-1}$$

Шаг 2: Найдём производную

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{-1}) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$$

Шаг 3: Подставим $x_0 = -\dfrac{1}{3}$

$$f’\left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{\left(-\frac{1}{3}\right)^2} = -\frac{1}{\frac{1}{9}} = -9$$

Ответ: $\boxed{-9}$

в) $f(x) = \dfrac{1}{x}, \quad x_0 = \dfrac{1}{2}$

Шаг 1: Производная (уже известна из предыдущего пункта)

$$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$$

Шаг 2: Подставим $x_0 = \dfrac{1}{2}$

$$f’\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = -\frac{1}{\frac{1}{4}} = -4$$

Ответ: $\boxed{-4}$

г) $f(x) = x^2, \quad x_0 = 2$

Шаг 1: Производная (уже была в пункте а)

$$f'(x) = 2x$$

Шаг 2: Подставим $x_0 = 2$

$$f'(2) = 2 \cdot 2 = 4$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 4}}$