ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.8 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $f(x) = \sin x, \quad x_0 = \frac{\pi}{3}$;

б) $f(x) = \cos x, \quad x_0 = -\frac{\pi}{4}$;

в) $f(x) = \cos x, \quad x_0 = \frac{\pi}{3}$;

г) $f(x) = \sin x, \quad x_0 = -\frac{\pi}{6}$

Найти угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$:

а) $f(x) = \sin x, \quad x_0 = \frac{\pi}{3}$;
$f'(x) = (\sin x)’ = \cos x$;
$f’\left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$;
Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) $f(x) = \cos x, \quad x_0 = -\frac{\pi}{4}$;
$f'(x) = (\cos x)’ = -\sin x$;
$f’\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$;
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

в) $f(x) = \cos x, \quad x_0 = \frac{\pi}{3}$;
$f'(x) = (\cos x)’ = -\sin x$;
$f’\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

г) $f(x) = \sin x, \quad x_0 = -\frac{\pi}{6}$;
$f'(x) = (\sin x)’ = \cos x$;
$f’\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$;
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

а) $f(x) = \sin x, \quad x_0 = \dfrac{\pi}{3}$

Шаг 1: Найдём производную функции

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$$

Шаг 2: Подставим значение $x_0$

$$f’\left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$$

Шаг 3: Вспоминаем табличное значение

$$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$$

Ответ: $\boxed{\dfrac{1}{2}}$

б) $f(x) = \cos x, \quad x_0 = -\dfrac{\pi}{4}$

Шаг 1: Найдём производную функции

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$$

Шаг 2: Подставим значение $x_0$

$$f’\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)$$

Шаг 3: Используем нечётность синуса

$$\sin(-x) = -\sin x \Rightarrow -\sin(-\frac{\pi}{4}) = -(-\sin(\frac{\pi}{4})) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$$

Шаг 4: Подставим значение

$$\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Ответ: $\boxed{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$

в) $f(x) = \cos x, \quad x_0 = \dfrac{\pi}{3}$

Шаг 1: Производная косинуса

$$f'(x) = -\sin x$$

Шаг 2: Подставим $x_0 = \dfrac{\pi}{3}$

$$f’\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$$

Шаг 3: Подставим табличное значение

$$\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow f’\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Ответ: $\boxed{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$

г) $f(x) = \sin x, \quad x_0 = -\dfrac{\pi}{6}$

Шаг 1: Производная синуса

$$f'(x) = \cos x$$

Шаг 2: Подставим $x_0 = -\dfrac{\pi}{6}$

$$f’\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)$$

Шаг 3: Используем чётность косинуса

$$\cos(-x) = \cos x \Rightarrow \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)$$

Шаг 4: Подставим значение

$$\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}}$