ГДЗ 10-11 Класс Номер 29.10 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Определить, какой угол образует с осью x касательная, проведенная к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$, если:

a) $f(x) = \sqrt{6x + 7}$, $a = 3\frac{1}{3}$;
$f'(x) = 6 \cdot \frac{1}{2\sqrt{6x + 7}} = \frac{3}{\sqrt{6x + 7}}$;
$tg\, a = f’\left(3\frac{1}{3}\right) = \frac{3}{\sqrt{6 \cdot 3\frac{1}{3} + 7}} = \frac{3}{\sqrt{20 + 7}} = \frac{3}{\sqrt{27}} = \frac{3}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$;
$a = arctg\, \frac{\sqrt{3}}{3} = 30^\circ$;
Ответ: $30^\circ$.

б) $f(x) = \sqrt{5 — 2x}$, $a = 2$;
$f'(x) = -2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{5 — 2x}} = -\frac{1}{\sqrt{5 — 2x}}$;
$tg\, a = f'(2) = -\frac{1}{\sqrt{5 — 2 \cdot 2}} = -\frac{1}{\sqrt{5 — 4}} = -\frac{1}{\sqrt{1}} = -1$;
$a = 180^\circ — arctg\, 1 = 180^\circ — 45^\circ = 135^\circ$;
Ответ: $135^\circ$.

Касательная к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$ образует угол $\alpha$ с положительным направлением оси $Ox$, если:

$$tg\,\alpha = f'(a)$$

Тогда:

• Если $f'(a) > 0$, то $\alpha = \arctg(f'(a))$
• Если $f'(a) < 0$, то $\alpha = 180^\circ — \arctg(|f'(a)|)$
• Если $f'(a) = 0$, то $\alpha = 0^\circ$

а) $f(x) = \sqrt{6x + 7}$, $a = 3\dfrac{1}{3} = \dfrac{10}{3}$

Шаг 1: Найдём производную

Это сложная функция:

$$f(x) = (6x + 7)^{1/2}$$

Применяем правило производной сложной функции:

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{6x + 7}} \cdot (6x + 7)’ = \frac{1}{2\sqrt{6x + 7}} \cdot 6 = \frac{3}{\sqrt{6x + 7}}$$

Шаг 2: Подставим $x = \dfrac{10}{3}$

Посчитаем:

$$6x + 7 = 6 \cdot \frac{10}{3} + 7 = 20 + 7 = 27$$ $$f’\left( \frac{10}{3} \right) = \frac{3}{\sqrt{27}} = \frac{3}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Шаг 3: Найдём угол

$$tg\,\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow \alpha = \arctg \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right) = 30^\circ$$

Ответ: $30^\circ$

б) $f(x) = \sqrt{5 — 2x}$, $a = 2$

Шаг 1: Найдём производную

Функция:

$$f(x) = (5 — 2x)^{1/2}$$

Применяем правило производной сложной функции:

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{5 — 2x}} \cdot (-2) = -\frac{1}{\sqrt{5 — 2x}}$$

Шаг 2: Подставим $x = 2$

$$f'(2) = -\frac{1}{\sqrt{5 — 2 \cdot 2}} = -\frac{1}{\sqrt{5 — 4}} = -\frac{1}{\sqrt{1}} = -1$$

Шаг 3: Найдём угол

$$tg\,\alpha = -1 \Rightarrow \alpha = 180^\circ — \arctg(1) = 180^\circ — 45^\circ = 135^\circ$$

Ответ: ${135}^{\circ }$