ГДЗ 10-11 Класс Номер 29.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Определить, какой угол образует с осью x касательная, проведенная к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$, если:

a) $f(x) = \sqrt{3} \cos \frac{x}{3}, \; a = \frac{3\pi}{2}$;
$f'(x) = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \left( -\sin \frac{x}{3} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{3} \sin \frac{x}{3}$;
$tg\, a = f’\left( \frac{3\pi}{2} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{3} \sin \left( \frac{3\pi}{2} \cdot \frac{1}{3} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{3} \sin \frac{\pi}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$;
$a = 180^\circ — \operatorname{arctg} \frac{\sqrt{3}}{3} = 180^\circ — 30^\circ = 150^\circ$;
Ответ: $150^\circ$.

б) $f(x) = \frac{1}{2} \sin 2x, \; a = \frac{\pi}{2}$;
$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \cos 2x = \cos 2x$;
$tg\, a = f’\left( \frac{\pi}{2} \right) = \cos \left( 2 \cdot \frac{\pi}{2} \right) = \cos \pi = -1$;
$a = 180^\circ — \operatorname{arctg} 1 = 180^\circ — 45^\circ = 135^\circ$;
Ответ: $135^\circ$.

Если касательная к графику функции $y = f(x)$ в точке $x = a$ образует угол $\alpha$ с положительным направлением оси $Ox$, то:

$$\tg\,\alpha = f'(a)$$

Значит:

• Если $f'(a) > 0$, то $\alpha = \arctg(f'(a))$
• Если $f'(a) < 0$, то $\alpha = 180^\circ — \arctg(|f'(a)|)$
• Если $f'(a) = 0$, то $\alpha = 0^\circ$

а) $f(x) = \sqrt{3} \cos\left( \frac{x}{3} \right), \quad a = \frac{3\pi}{2}$

Шаг 1: Найдём производную

Используем правило производной сложной функции:

$$\left( \cos\left( \frac{x}{3} \right) \right)’ = -\sin\left( \frac{x}{3} \right) \cdot \left( \frac{x}{3} \right)’ = -\sin\left( \frac{x}{3} \right) \cdot \frac{1}{3}$$

Теперь учитываем множитель $\sqrt{3}$:

$$f'(x) = \sqrt{3} \cdot \left( -\frac{1}{3} \sin \left( \frac{x}{3} \right) \right) = -\frac{\sqrt{3}}{3} \sin \left( \frac{x}{3} \right)$$

Шаг 2: Подставим $x = \frac{3\pi}{2}$

$$f’\left( \frac{3\pi}{2} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \sin\left( \frac{3\pi}{2} \cdot \frac{1}{3} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \sin\left( \frac{\pi}{2} \right)$$ $$\sin\left( \frac{\pi}{2} \right) = 1 \Rightarrow f’\left( \frac{3\pi}{2} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Шаг 3: Найдём угол

$$\tg\,\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow \alpha = 180^\circ — \arctg\left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)$$ $$\arctg\left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right) = 30^\circ \Rightarrow \alpha = 180^\circ — 30^\circ = 150^\circ$$

Ответ: $150^\circ$

б) $f(x) = \dfrac{1}{2} \sin(2x), \quad a = \dfrac{\pi}{2}$

Шаг 1: Найдём производную

Используем производную синуса и цепное правило:

$$\left( \sin(2x) \right)’ = \cos(2x) \cdot (2x)’ = \cos(2x) \cdot 2$$

Теперь учтём множитель:

$$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \cos(2x) = \cos(2x)$$

Шаг 2: Подставим $x = \dfrac{\pi}{2}$

$$f’\left( \frac{\pi}{2} \right) = \cos\left( 2 \cdot \frac{\pi}{2} \right) = \cos(\pi)$$ $$\cos(\pi) = -1 \Rightarrow f’\left( \frac{\pi}{2} \right) = -1$$

Шаг 3: Найдём угол

$$\tg\,\alpha = -1 \Rightarrow \alpha = 180^\circ — \arctg(1) = 180^\circ — 45^\circ = 135^\circ$$

Ответ: ${135}^{\circ }$