ГДЗ 10-11 Класс Номер 29.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Составить уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$, если:

а) $f(x) = x^2, \ a = 3$;
Значение функции:
$f(a) = 3^2 = 9$;

Значение производной:
$f'(x) = (x^2)’ = 2x$;
$f'(a) = 2 \cdot 3 = 6$;

Уравнение касательной:
$y = f(a) + f'(a)(x — a)$;
$y = 9 + 6(x — 3) = 9 + 6x — 18 = 6x — 9$;
Ответ: $y = 6x — 9$.

б) $f(x) = 2 — x — x^3, \ a = 0$;
Значение функции:
$f(a) = 2 — 0 — 0^3 = 2$;

Значение производной:
$f'(x) = (2 — x)’ — (x^3)’ = -1 — 3x^2$;
$f'(a) = -1 — 3 \cdot 0^2 = -1$;

Уравнение касательной:
$y = f(a) + f'(a)(x — a)$;
$y = 2 — 1 \cdot (x — 0) = 2 — x$;
Ответ: $y = 2 — x$.

в) $f(x) = x^3, \ a = 1$;
Значение функции:
$f(a) = 1^3 = 1$;

Значение производной:
$f'(x) = (x^3)’ = 3x^2$;
$f'(a) = 3 \cdot 1^2 = 3$;

Уравнение касательной:
$y = f(a) + f'(a)(x — a)$;
$y = 1 + 3(x — 1) = 1 + 3x — 3 = 3x — 2$;
Ответ: $y = 3x — 2$.

г) $f(x) = x^3 — 3x + 5, \ a = -1$;
Значение функции:
$f(a) = (-1)^3 — 3 \cdot (-1) + 5 = -1 + 3 + 5 = 7$;

Значение производной:
$f'(x) = (x^3)’ + (-3x + 5)’ = 3x^2 — 3$;
$f'(a) = 3 \cdot (-1)^2 — 3 = 3 — 3 = 0$;

Уравнение касательной:
$y = f(a) + f'(a)(x — a)$;
$y = 7 + 0 \cdot (x + 1) = 7$;
Ответ: $y = 7$.

Касательная к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$ — это прямая, проходящая через точку $(a, f(a))$ и имеющая наклон, равный производной функции в этой точке, т.е. $f'(a)$.

Формула уравнения касательной:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

а) $f(x) = x^2, \quad a = 3$

1. Найдём значение функции в точке:

$$f(a) = f(3) = 3^2 = 9$$

2. Найдём производную:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$$

3. Найдём значение производной в точке:

$$f'(a) = f'(3) = 2 \cdot 3 = 6$$

4. Подставим в формулу уравнения касательной:

$$y = f(3) + f'(3)(x — 3)$$ $$y = 9 + 6(x — 3)$$

5. Раскроем скобки и упростим:

$$y = 9 + 6x — 18 = 6x — 9$$

Ответ:

$$\boxed{y = 6x — 9}$$

б) $f(x) = 2 — x — x^3, \quad a = 0$

1. Найдём значение функции в точке:

$$f(0) = 2 — 0 — 0^3 = 2$$

2. Найдём производную:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(2 — x — x^3) = 0 — 1 — 3x^2 = -1 — 3x^2$$

3. Найдём значение производной в точке:

$$f'(0) = -1 — 3 \cdot 0^2 = -1$$

4. Подставим в формулу касательной:

$$y = f(0) + f'(0)(x — 0) = 2 + (-1)(x) = 2 — x$$

Ответ:

$$\boxed{y = 2 — x}$$

в) $f(x) = x^3, \quad a = 1$

1. Найдём значение функции:

$$f(1) = 1^3 = 1$$

2. Найдём производную:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$$

3. Значение производной:

$$f'(1) = 3 \cdot 1^2 = 3$$

4. Уравнение касательной:

$$y = f(1) + f'(1)(x — 1) = 1 + 3(x — 1)$$

5. Упрощаем:

$$y = 1 + 3x — 3 = 3x — 2$$

Ответ:

$$\boxed{y = 3x — 2}$$

г) $f(x) = x^3 — 3x + 5, \quad a = -1$

1. Найдём значение функции:

$$f(-1) = (-1)^3 — 3 \cdot (-1) + 5 = -1 + 3 + 5 = 7$$

2. Найдём производную:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 — 3x + 5) = 3x^2 — 3$$

3. Значение производной:

$$f'(-1) = 3 \cdot (-1)^2 — 3 = 3 \cdot 1 — 3 = 0$$

4. Подставляем в формулу:

$$y = f(-1) + f'(-1)(x + 1) = 7 + 0 \cdot (x + 1) = 7$$

Ответ:

$$\boxed{y = 7}$$

Финальные ответы:

а) $y = 6x — 9$

б) $y = 2 — x$

в) $y = 3x — 2$

г) $y = 7$