ГДЗ 10-11 Класс Номер 29.14 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Составить уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$, если:

а) $f(x) = 2\sqrt{3x — 5}$, $a = 2$;

Значение функции:
$f(a) = 2\sqrt{3 \cdot 2 — 5} = 2\sqrt{6 — 5} = 2\sqrt{1} = 2$;

Значение производной:
$f'(x) = 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{3x — 5}} = \frac{3}{\sqrt{3x — 5}}$;
$f'(a) = \frac{3}{\sqrt{3 \cdot 2 — 5}} = \frac{3}{\sqrt{6 — 5}} = \frac{3}{\sqrt{1}} = 3$;

Уравнение касательной:
$y = f(a) + f'(a)(x — a)$;
$y = 2 + 3(x — 2) = 2 + 3x — 6 = 3x — 4$;

Ответ: $y = 3x — 4$.

б) $f(x) = \sqrt{7 — 2x}$, $a = 3$;

Значение функции:
$f(a) = \sqrt{7 — 2 \cdot 3} = \sqrt{7 — 6} = \sqrt{1} = 1$;

Значение производной:
$f'(x) = -2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{7 — 2x}} = -\frac{1}{\sqrt{7 — 2x}}$;
$f'(a) = -\frac{1}{\sqrt{7 — 2 \cdot 3}} = -\frac{1}{\sqrt{7 — 6}} = -\frac{1}{\sqrt{1}} = -1$;

Уравнение касательной:
$y = f(a) + f'(a)(x — a)$;
$y = 1 — 1 \cdot (x — 3) = 1 — x + 3 = 4 — x$;

Ответ: $y = 4 — x$.

Касательная к графику функции $y = f(x)$ в точке $x = a$ — это прямая, проходящая через точку $(a, f(a))$, наклон которой равен производной функции в этой точке: $f'(a)$.

Формула касательной:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

а) $f(x) = 2\sqrt{3x — 5}, \quad a = 2$

Шаг 1: Найдём значение функции в точке $x = 2$

$$f(2) = 2\sqrt{3 \cdot 2 — 5} = 2\sqrt{6 — 5} = 2\sqrt{1} = 2$$

Шаг 2: Найдём производную функции $f(x) = 2\sqrt{3x — 5}$

Представим подкоренное выражение как степень:

$$f(x) = 2(3x — 5)^{1/2}$$

Применяем правило цепной производной:

• Внешняя функция: $u^{1/2} \Rightarrow \frac{1}{2} u^{-1/2}$
• Внутренняя: $u = 3x — 5 \Rightarrow u’ = 3$

Тогда:

$$f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (3x — 5)^{-1/2} \cdot 3 = \frac{3}{\sqrt{3x — 5}}$$

Шаг 3: Найдём значение производной в точке $x = 2$

$$f'(2) = \frac{3}{\sqrt{3 \cdot 2 — 5}} = \frac{3}{\sqrt{6 — 5}} = \frac{3}{\sqrt{1}} = 3$$

Шаг 4: Подставим всё в формулу касательной

$$y = f(2) + f'(2)(x — 2)$$ $$y = 2 + 3(x — 2)$$

Шаг 5: Раскроем скобки и упростим

$$y = 2 + 3x — 6 = 3x — 4$$

Ответ:

$$\boxed{y = 3x — 4}$$

б) $f(x) = \sqrt{7 — 2x}, \quad a = 3$

Шаг 1: Найдём значение функции в точке $x = 3$

$$f(3) = \sqrt{7 — 2 \cdot 3} = \sqrt{7 — 6} = \sqrt{1} = 1$$

Шаг 2: Найдём производную функции $f(x) = \sqrt{7 — 2x}$

Записываем как степень:

$$f(x) = (7 — 2x)^{1/2}$$

Применяем правило цепной производной:

• Внешняя функция: $u^{1/2} \Rightarrow \frac{1}{2} u^{-1/2}$
• Внутренняя: $u = 7 — 2x \Rightarrow u’ = -2$

Тогда:

$$f'(x) = \frac{1}{2}(7 — 2x)^{-1/2} \cdot (-2) = -\frac{1}{\sqrt{7 — 2x}}$$

Шаг 3: Найдём значение производной в точке $x = 3$

$$f'(3) = -\frac{1}{\sqrt{7 — 2 \cdot 3}} = -\frac{1}{\sqrt{7 — 6}} = -\frac{1}{\sqrt{1}} = -1$$

Шаг 4: Составим уравнение касательной

$$y = f(3) + f'(3)(x — 3)$$ $$y = 1 + (-1)(x — 3)$$

Шаг 5: Раскроем скобки и упростим

$$y = 1 — x + 3 = 4 — x$$

Ответ:

$$\boxed{y = 4 — x}$$

Финальные ответы:

а) $y = 3x — 4$

б) $y = 4 — x$