ГДЗ 10-11 Класс Номер 29.16 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Составить уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$, если:

а) $f(x) = \ctg 2x, \; a = \frac{\pi}{4}$;

Значение функции:
$f(a) = \ctg\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \ctg\frac{\pi}{2} = 0$;

Значение производной:
$f'(x) = 2 \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 2x}\right) = -\frac{2}{\sin^2 2x}$;
$f'(a) = -\frac{2}{\sin^2\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right)} = -\frac{2}{\sin^2\frac{\pi}{2}} = -\frac{2}{1^2} = -2$;

Уравнение касательной:
$y = f(a) + f'(a)(x — a)$;
$y = 0 — 2\left(x — \frac{\pi}{4}\right) = -2x + \frac{\pi}{2}$;

Ответ: $y = \frac{\pi}{2} — 2x$.

б) $f(x) = 2 \tg\frac{x}{3}, \; x = 0$;

Значение функции:
$f(a) = 2 \tg\frac{0}{3} = 2 \tg 0 = 0$;

Значение производной:
$f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\cos^2\frac{x}{3}} = \frac{2}{3 \cos^2\frac{x}{3}}$;
$f'(a) = \frac{2}{3 \cos^2\frac{0}{3}} = \frac{2}{3 \cos^2 0} = \frac{2}{3 \cdot 1^2} = \frac{2}{3}$;

Уравнение касательной:
$y = f(a) + f'(a)(x — a)$;
$y = 0 + \frac{2}{3}(x — 0) = \frac{2}{3}x$;

Ответ: $y = \frac{2}{3}x$.

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$, используем формулу:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

Где:

• $f(a)$ — значение функции в точке $x = a$,
• $f'(a)$ — значение производной функции в этой точке.

а) $f(x) = \ctg 2x, \quad a = \dfrac{\pi}{4}$

Шаг 1. Найдём значение функции в точке

Подставим $a = \frac{\pi}{4}$ в $f(x)$:

$$f\left( \frac{\pi}{4} \right) = \ctg\left( 2 \cdot \frac{\pi}{4} \right) = \ctg\left( \frac{\pi}{2} \right)$$ $$\ctg\left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\cos\left( \frac{\pi}{2} \right)}{\sin\left( \frac{\pi}{2} \right)} = \frac{0}{1} = 0$$ $$f\left( \frac{\pi}{4} \right) = 0$$

Шаг 2. Найдём производную функции

Используем производную от $\ctg(u)$:

$$\frac{d}{dx} \ctg u = -\frac{u’}{\sin^2 u}$$

У нас:

• $f(x) = \ctg(2x)$,
• $u = 2x$,
• $u’ = 2$

Тогда:

$$f'(x) = -\frac{2}{\sin^2(2x)}$$

Шаг 3. Вычислим значение производной в точке

Подставим $x = \dfrac{\pi}{4}$:

$$f’\left( \frac{\pi}{4} \right) = -\frac{2}{\sin^2\left( 2 \cdot \frac{\pi}{4} \right)} = -\frac{2}{\sin^2\left( \frac{\pi}{2} \right)} = -\frac{2}{1^2} = -2$$

Шаг 4. Подставим в формулу уравнения касательной

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$ $$y = 0 + (-2)\left(x — \frac{\pi}{4} \right) = -2x + \frac{2\pi}{4} = -2x + \frac{\pi}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{y = \frac{\pi}{2} — 2x}$$

б) $f(x) = 2 \tg\frac{x}{3}, \quad a = 0$

Шаг 1. Найдём значение функции в точке

$$f(0) = 2 \cdot \tg\left( \frac{0}{3} \right) = 2 \cdot \tg(0) = 2 \cdot 0 = 0$$

Шаг 2. Найдём производную функции

Используем производную от $\tg(u)$:

$$\frac{d}{dx} \tg u = \frac{u’}{\cos^2 u}$$

Здесь:

• $f(x) = 2 \cdot \tg\left( \frac{x}{3} \right)$
• Внутренняя функция: $u = \frac{x}{3}$, производная: $u’ = \frac{1}{3}$

Тогда:

$$f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\cos^2\left( \frac{x}{3} \right)} = \frac{2}{3\cos^2\left( \frac{x}{3} \right)}$$

Шаг 3. Вычислим значение производной в точке

$$f'(0) = \frac{2}{3\cos^2\left( \frac{0}{3} \right)} = \frac{2}{3 \cdot \cos^2(0)} = \frac{2}{3 \cdot 1^2} = \frac{2}{3}$$

Шаг 4. Подставим в формулу касательной

$$y = f(0) + f'(0)(x — 0) = 0 + \frac{2}{3}x$$

Ответ:

$$\boxed{y = \frac{2}{3}x}$$

Финальные ответы:

а) $y = \dfrac{\pi}{2} — 2x$

б) $y = \dfrac{2}{3}x$