ГДЗ 10-11 Класс Номер 29.17 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Напишите уравнения касательных к графику функции у = 9 — х² в точках его пересечения с осью абсцисс.

Дана функция: $f(x) = 9 — x^2$;

Точки пересечения с осью абсцисс:
$9 — x^2 = 0$;
$x^2 = 9$;
$x = \pm 3$;

Производная функции:
$f'(x) = (9)’ — (x^2)’ = 0 — 2x = -2x$;

Значения функции и производных:
$f(\pm 3) = 0$;
$f'(-3) = -2 \cdot (-3) = 6$;
$f'(3) = -2 \cdot 3 = -6$;

Уравнения касательных в данных точках:
$y = f(a) + f'(a)(x — a)$;
$y_1 = 0 + 6(x — (-3)) = 6(x + 3) = 6x + 18$;
$y_2 = 0 — 6(x — 3) = -6x + 18 = 18 — 6x$;

Ответ: $y = 6x + 18$; $y = 18 — 6x$.

Функция:

$$f(x) = 9 — x^2$$

Шаг 1: Найдём точки пересечения с осью абсцисс (ось $x$)

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осью $x$, приравниваем функцию к нулю:

$$f(x) = 0 \Rightarrow 9 — x^2 = 0$$

Решим уравнение:

$$x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$$

Ответ:

График пересекает ось абсцисс в точках:

$$x = -3 \quad \text{и} \quad x = 3$$

Шаг 2: Найдём производную функции

Дана функция:

$$f(x) = 9 — x^2$$

Применим правила дифференцирования:

• $(9)’ = 0$, так как это константа,
• $(x^2)’ = 2x$

Тогда:

$$f'(x) = (9)’ — (x^2)’ = 0 — 2x = -2x$$

Ответ:

$$f'(x) = -2x$$

Шаг 3: Найдём значения функции и производной в точках $x = -3$ и $x = 3$

Значения функции:

$$f(-3) = 9 — (-3)^2 = 9 — 9 = 0$$ $$f(3) = 9 — 3^2 = 9 — 9 = 0$$

Значения производной:

$$f'(-3) = -2 \cdot (-3) = 6$$ $$f'(3) = -2 \cdot 3 = -6$$

Ответ:

• $f(-3) = 0$, $f'(-3) = 6$
• $f(3) = 0$, $f'(3) = -6$

Шаг 4: Составим уравнения касательных в найденных точках

Формула уравнения касательной к графику функции в точке $x = a$:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

В точке $x = -3$

• $f(-3) = 0$,
• $f'(-3) = 6$

Подставим в формулу:

$$y = 0 + 6(x — (-3)) = 6(x + 3)$$

Раскроем скобки:

$$y = 6x + 18$$

В точке $x = 3$

• $f(3) = 0$,
• $f'(3) = -6$

Подставим:

$$y = 0 + (-6)(x — 3) = -6(x — 3)$$

Раскроем скобки:

$$y = -6x + 18$$

Иногда записывают в виде:

$$y = 18 — 6x$$

Финальный ответ:

• В точке $x = -3$: $\boxed{y = 6x + 18}$
• В точке $x = 3$: $\boxed{y = 18 — 6x}$