ГДЗ 10-11 Класс Номер 29.18 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Напишите уравнения касательных к параболе у = х² — Зх в точках с ординатой 4.

Дана функция: $f(x) = x^2 — 3x$;

Точки, ордината которых равна 4:
$x^2 — 3x = 4$;
$x^2 — 3x — 4 = 0$;
$D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25$, тогда:
$x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4$;

Производная функции:
$f'(x) = (x^2)’ — (3x)’ = 2x — 3$;

Значения функции и производных:
$f(-1) = f(4) = 4$;
$f'(-1) = 2 \cdot (-1) — 3 = -2 — 3 = -5$;
$f'(4) = 2 \cdot 4 — 3 = 8 — 3 = 5$;

Уравнения касательных в данных точках:
$y = f(a) + f'(a)(x — a)$;
$y_1 = 4 — 5(x — (-1)) = 4 — 5x — 5 = -1 — 5x$;
$y_2 = 4 + 5(x — 4) = 4 + 5x — 20 = 5x — 16$;

Ответ: $y = -1 — 5x$; $y = 5x — 16$.

Функция:

$$f(x) = x^2 — 3x$$

Шаг 1. Найдём точки, в которых ордината равна 4

То есть решим уравнение:

$$f(x) = 4$$ $$x^2 — 3x = 4$$ $$x^2 — 3x — 4 = 0$$

Это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$

Теперь найдём корни:

$$x_1 = \frac{3 — \sqrt{25}}{2} = \frac{3 — 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ $$x_2 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

Ответ:

Ордината $f(x) = 4$ достигается в точках:

$$x = -1 \quad \text{и} \quad x = 4$$

Шаг 2. Найдём производную функции

Функция:

$$f(x) = x^2 — 3x$$

Производная:

$$f'(x) = (x^2)’ — (3x)’ = 2x — 3$$

Ответ:

$$f'(x) = 2x — 3$$

Шаг 3. Вычислим значения функции и производной в точках $x = -1$ и $x = 4$

Значения функции:

$$f(-1) = (-1)^2 — 3 \cdot (-1) = 1 + 3 = 4$$ $$f(4) = 4^2 — 3 \cdot 4 = 16 — 12 = 4$$

Значения производной:

$$f'(-1) = 2 \cdot (-1) — 3 = -2 — 3 = -5$$ $$f'(4) = 2 \cdot 4 — 3 = 8 — 3 = 5$$

Ответ:

• $f(-1) = 4$, $f'(-1) = -5$
• $f(4) = 4$, $f'(4) = 5$

Шаг 4. Составим уравнения касательных

Формула касательной:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

Касательная в точке $x = -1$

• $f(-1) = 4$
• $f'(-1) = -5$

Подставим в формулу:

$$y = 4 + (-5)(x — (-1)) = 4 — 5(x + 1)$$

Раскроем скобки:

$$y = 4 — 5x — 5 = -1 — 5x$$

Касательная в точке $x = 4$

• $f(4) = 4$
• $f'(4) = 5$

Подставим:

$$y = 4 + 5(x — 4) = 4 + 5x — 20$$

Упростим:

$$y = 5x — 16$$

Ответ:

• В точке $x = -1$: $\boxed{y = -1 — 5x}$
• В точке $x = 4$: $\boxed{y = 5x — 16}$

Финальный ответ:

$$\boxed{y = -1 — 5x}, \quad \boxed{y = 5x — 16}$$