ГДЗ 10-11 Класс Номер 29.22 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Выяснить, в каких точках касательная к графику заданной функции $y = f(x)$ параллельна заданной прямой $y = kx + m$:

а) $f(x) = \sin x$, $y = -x$;

Производная функции:
$k = f'(x) = (\sin x)’ = \cos x$;

Значение переменной:
$\cos x = -1$;
$x = \pi + 2\pi n$;

Ответ: $\pi + 2\pi n$.

б) $f(x) = \cos 3x$, $y = 0$;

Производная функции:
$k = f'(x) = 3 \cdot (-\sin 3x) = -3 \sin 3x$;

Значение переменной:
$-3 \sin 3x = 0$;
$\sin 3x = 0$;
$3x = \pi n$;
$x = \frac{\pi n}{3}$;

Ответ: $\frac{\pi n}{3}$.

в) $f(x) = \operatorname{tg} x$, $y = x$;

Производная функции:
$k = f'(x) = (\operatorname{tg} x)’ = \frac{1}{\cos^2 x}$;

Значение переменной:
$\frac{1}{\cos^2 x} = 1$;
$\cos^2 x = 1$;
$\cos x = \pm 1$;
$x = \pi n$;

Ответ: $\pi n$.

г) $f(x) = \sin \frac{x}{3}$, $y = -1$;

Производная функции:
$k = f'(x) = \frac{1}{3} \cdot \cos \frac{x}{3}$;

Значение переменной:
$\frac{1}{3} \cdot \cos \frac{x}{3} = 0$;
$\cos \frac{x}{3} = 0$;
$\frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n$;
$x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi n$;

Ответ: $\frac{3\pi}{2} + 3\pi n$.

Чтобы касательная к графику функции $y = f(x)$ была параллельна прямой $y = kx + m$, нужно, чтобы их угловые коэффициенты были равны.

• Угловой коэффициент касательной: $f'(x)$
• Угловой коэффициент прямой: $k$

Условие параллельности:

$$f'(x) = k$$

а) $f(x) = \sin x$, прямая: $y = -x$

Шаг 1: Найдём производную функции

$$f(x) = \sin x \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \cos x$$

Шаг 2: Угловой коэффициент заданной прямой

$$y = -x \quad \Rightarrow \quad k = -1$$

Шаг 3: Приравниваем производную к $k$

$$\cos x = -1$$

Шаг 4: Найдём общее решение

$$\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$\boxed{x = \pi + 2\pi n}$$

б) $f(x) = \cos 3x$, прямая: $y = 0$

Шаг 1: Найдём производную функции

$$f(x) = \cos(3x) \Rightarrow f'(x) = -\sin(3x) \cdot 3 = -3 \sin(3x)$$

Шаг 2: Угловой коэффициент прямой

$$y = 0 \Rightarrow k = 0$$

Шаг 3: Приравниваем производную к $k$

$$-3 \sin(3x) = 0 \Rightarrow \sin(3x) = 0$$

Шаг 4: Решим уравнение

$$\sin(3x) = 0 \Rightarrow 3x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi n}{3}}$$

в) $f(x) = \tg x$, прямая: $y = x$

Шаг 1: Найдём производную функции

$$f(x) = \tg x \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$$

Шаг 2: Угловой коэффициент прямой

$$y = x \Rightarrow k = 1$$

Шаг 3: Приравниваем производную к $k$

$$\frac{1}{\cos^2 x} = 1 \Rightarrow \cos^2 x = 1 \Rightarrow \cos x = \pm 1$$

Шаг 4: Найдём общее решение

$$\cos x = \pm 1 \Rightarrow x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$\boxed{x = \pi n}$$

г) $f(x) = \sin \frac{x}{3}$, прямая: $y = -1$

Шаг 1: Найдём производную функции

$$f(x) = \sin\left( \frac{x}{3} \right) \Rightarrow f'(x) = \cos\left( \frac{x}{3} \right) \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \cos\left( \frac{x}{3} \right)$$

Шаг 2: Угловой коэффициент прямой

$$y = -1 \Rightarrow k = 0$$

Шаг 3: Приравниваем производную к $k$

$$\frac{1}{3} \cos\left( \frac{x}{3} \right) = 0 \Rightarrow \cos\left( \frac{x}{3} \right) = 0$$

Шаг 4: Найдём общее решение

$$\cos\left( \frac{x}{3} \right) = 0 \Rightarrow \frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi n}$$

Финальные ответы:

а) $x = \pi + 2\pi n$

б) $x = \dfrac{\pi n}{3}$

в) $x = \pi n$

г) $x = \dfrac{3\pi}{2} + 3\pi n$