ГДЗ 10-11 Класс Номер 29.23 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Дана функция: $f(x) = \frac{x^3}{3} — 2$;

Написать уравнения касательных, параллельных заданной прямой:

а) $y = x — 3, \; k = 1$;

Производная функции:

$k = f'(x) = \frac{1}{3}(x^3)’ — (2)’ = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 — 0 = x^2$;

Значения переменной:

$x^2 = 1$;

$x = \pm\sqrt{1} = \pm1$;

Значения функции:

$f(-1) = \frac{(-1)^3}{3} — 2 = -\frac{1}{3} — 2 = -\frac{7}{3}$;

$f(1) = \frac{1^3}{3} — 2 = \frac{1}{3} — 2 = -\frac{5}{3}$;

Уравнения касательных:

$y = f(a) + f'(a)(x — a)$;

$y_1 = -\frac{7}{3} + 1 \cdot (x — (-1)) = x + 1 — \frac{7}{3} = x — \frac{4}{3}$;

$y_2 = -\frac{5}{3} + 1 \cdot (x — 1) = x — 1 — \frac{5}{3} = x — \frac{8}{3}$;

Ответ: $y = x — \frac{4}{3}; \; y = x — \frac{8}{3}$.

б) $y = 9x — 5, \; k = 9$;

Производная функции:

$k = f'(x) = \frac{1}{3}(x^3)’ — (2)’ = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 — 0 = x^2$;

Значения переменной:

$x^2 = 9$;

$x = \pm\sqrt{9} = \pm3$;

Значения функции:

$f(-3) = \frac{(-3)^3}{3} — 2 = -\frac{27}{3} — 2 = -9 — 2 = -11$;

$f(3) = \frac{3^3}{3} — 2 = \frac{27}{3} — 2 = 9 — 2 = 7$;

Уравнения касательных:

$y = f(a) + f'(a)(x — a)$;

$y_1 = -11 + 9(x — (-3)) = -11 + 9x + 27 = 9x + 16$;

$y_2 = 7 + 9(x — 3) = 7 + 9x — 27 = 9x — 20$;

Ответ: $y = 9x + 16; \; y = 9x — 20$.

Функция:

$$f(x) = \frac{x^3}{3} — 2$$

а) Прямая: $y = x — 3$

Шаг 1. Определим угловой коэффициент прямой

Уравнение прямой:

$$y = x — 3 \Rightarrow k = 1$$

Шаг 2. Найдём производную функции $f(x)$

$$f(x) = \frac{x^3}{3} — 2$$

По правилу производной:

• $\left(\frac{x^3}{3}\right)’ = x^2$
• $(-2)’ = 0$

Итак:

$$f'(x) = x^2$$

Шаг 3. Приравниваем производную к угловому коэффициенту

$$f'(x) = k \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$$

Шаг 4. Вычислим значения функции в найденных точках

$$f(-1) = \frac{(-1)^3}{3} — 2 = -\frac{1}{3} — 2 = -\frac{7}{3}$$ $$f(1) = \frac{1^3}{3} — 2 = \frac{1}{3} — 2 = -\frac{5}{3}$$

Шаг 5. Составим уравнения касательных

Формула касательной:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

В точке $x = -1$

• $f(-1) = -\frac{7}{3}$
• $f'(-1) = (-1)^2 = 1$

$$y = -\frac{7}{3} + 1 \cdot (x + 1) = x + 1 — \frac{7}{3}$$

Приведём к общему виду:

$$y = x — \frac{4}{3}$$

В точке $x = 1$

• $f(1) = -\frac{5}{3}$
• $f'(1) = 1^2 = 1$

$$y = -\frac{5}{3} + 1 \cdot (x — 1) = x — 1 — \frac{5}{3} \Rightarrow y = x — \frac{8}{3}$$

Ответ:

$$\boxed{y = x — \frac{4}{3}; \quad y = x — \frac{8}{3}}$$

б) Прямая: $y = 9x — 5$

Шаг 1. Угловой коэффициент прямой

$$k = 9$$

Шаг 2. Производная функции (та же):

$$f'(x) = x^2$$

Шаг 3. Приравниваем производную к угловому коэффициенту

$$x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$$

Шаг 4. Найдём значения функции

$$f(-3) = \frac{(-3)^3}{3} — 2 = \frac{-27}{3} — 2 = -9 — 2 = -11$$ $$f(3) = \frac{3^3}{3} — 2 = \frac{27}{3} — 2 = 9 — 2 = 7$$

Шаг 5. Составим уравнения касательных

В точке $x = -3$

• $f(-3) = -11$
• $f'(-3) = 9$

$$y = -11 + 9(x + 3) = -11 + 9x + 27 = 9x + 16$$

В точке $x = 3$

• $f(3) = 7$
• $f'(3) = 9$

$$y = 7 + 9(x — 3) = 7 + 9x — 27 = 9x — 20$$

Ответ:

$$\boxed{y = 9x + 16; \quad y = 9x — 20}$$

Финальные ответы:

а) $y = x — \dfrac{4}{3}$; $y = x — \dfrac{8}{3}$

б) $y = 9x + 16$; $y = 9x — 20$