ГДЗ 10-11 Класс Номер 29.25 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить координаты точек пересечения с осью $y$ тех касательных к графику функции $y = f(x)$, которые образуют заданный угол с осью $x$;

a) $f(x) = \frac{3x — 1}{x + 8}$, $a = 45^\circ$;

Производная функции:

$$tg\,a = f'(x) = \frac{(3x — 1)’ \cdot (x + 8) — (3x — 1) \cdot (x + 8)’}{(x + 8)^2};$$ $$tg\,a = \frac{3 \cdot (x + 8) — (3x — 1) \cdot 1}{(x + 8)^2} = \frac{3x + 24 — 3x + 1}{(x + 8)^2} = \frac{25}{(x + 8)^2};$$ $$tg\,a = tg\,45^\circ = 1;$$

Значения переменной:

$$\frac{25}{(x + 8)^2} = 1;$$ $$(x + 8)^2 = 25;$$ $$x + 8 = \pm 5;$$ $$x_1 = -8 — 5 = -13;$$ $$x_2 = -8 + 5 = -3;$$

Значения функции:

$$f(-13) = \frac{3 \cdot (-13) — 1}{-13 + 8} = \frac{-39 — 1}{-5} = \frac{40}{5} = 8;$$ $$f(-3) = \frac{3 \cdot (-3) — 1}{-3 + 8} = \frac{-9 — 1}{5} = -\frac{10}{5} = -2;$$

Уравнения касательных:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a);$$ $$y_1 = 8 + 1 \cdot (x — (-13)) = 8 + x + 13 = x + 21;$$ $$y_2 = -2 + 1 \cdot (x — (-3)) = -2 + x + 3 = x + 1;$$

Искомые точки:

$$y_1(0) = 0 + 21 = 21;$$ $$y_2(0) = 0 + 1 = 1;$$

Ответ: $(0; 21); (0; 1)$.

б) $f(x) = \frac{x + 4}{x — 5}$, $a = 135^\circ$;

Производная функции:

$$tg\,a = f'(x) = \frac{(x + 4)’ \cdot (x — 5) — (x + 4) \cdot (x — 5)’}{(x — 5)^2};$$ $$tg\,a = \frac{1 \cdot (x — 5) — (x + 4) \cdot 1}{(x — 5)^2} = \frac{x — 5 — x — 4}{(x — 5)^2} = -\frac{9}{(x — 5)^2};$$ $$tg\,a = tg\,135^\circ = tg(180^\circ — 45^\circ) = -tg\,45^\circ = -1;$$

Значения переменной:

$$-\frac{9}{(x — 5)^2} = -1;$$ $$(x — 5)^2 = 9;$$ $$x — 5 = \pm 3;$$ $$x_1 = 5 — 3 = 2;$$ $$x_2 = 5 + 3 = 8;$$

Значения функции:

$$f(2) = \frac{2 + 4}{2 — 5} = \frac{6}{-3} = -2;$$ $$f(8) = \frac{8 + 4}{8 — 5} = \frac{12}{3} = 4;$$

Уравнения касательных:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a);$$ $$y_1 = -2 — 1 \cdot (x — 2) = -2 — x + 2 = -x;$$ $$y_2 = 4 — 1 \cdot (x — 8) = 4 — x + 8 = 12 — x;$$

Искомые точки:

$$y_1(0) = -0 = 0;$$ $$y_2(0) = 12 — 0 = 12;$$

Ответ: $(0; 0); (0; 12)$.

Найти координаты точек пересечения с осью $y$ тех касательных к графику функции $y = f(x)$, которые образуют с осью $x$ заданный угол $a$.

Иными словами, нам нужно:

1. Найти точки на графике, в которых угловой коэффициент касательной $f'(x)$ равен $\tan a$;
2. Построить уравнение касательной;
3. Найти значение $y$, когда $x = 0$ (т.е. точка пересечения с осью $y$).

а) $f(x) = \dfrac{3x — 1}{x + 8}$, $a = 45^\circ$

Шаг 1: Найдём производную функции $f(x)$

Функция дана в виде дроби, используем правило производной частного:

$$f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}, \quad f'(x) = \frac{u’v — uv’}{v^2}$$

Где:

• $u(x) = 3x — 1$
• $v(x) = x + 8$
• $u'(x) = 3$
• $v'(x) = 1$

Подставим:

$$f'(x) = \frac{3(x + 8) — (3x — 1)(1)}{(x + 8)^2}$$

Раскрываем скобки:

$$f'(x) = \frac{3x + 24 — 3x + 1}{(x + 8)^2} = \frac{25}{(x + 8)^2}$$

Шаг 2: Приравниваем производную к $\tan 45^\circ$

$$\tan 45^\circ = 1 \Rightarrow f'(x) = 1$$ $$\frac{25}{(x + 8)^2} = 1$$

Умножим обе части на $(x + 8)^2$:

$$25 = (x + 8)^2 \Rightarrow x + 8 = \pm 5 \Rightarrow x = -8 \pm 5$$

Находим:

$$x_1 = -13, \quad x_2 = -3$$

Шаг 3: Найдём значения функции $f(x)$ в этих точках

При $x = -13$:

$$f(-13) = \frac{3 \cdot (-13) — 1}{-13 + 8} = \frac{-39 — 1}{-5} = \frac{-40}{-5} = 8$$

При $x = -3$:

$$f(-3) = \frac{3 \cdot (-3) — 1}{-3 + 8} = \frac{-9 — 1}{5} = \frac{-10}{5} = -2$$

Шаг 4: Уравнение касательной

Формула касательной в точке $(x_0, y_0)$:

$$y = f(x_0) + f'(x_0)(x — x_0)$$

Здесь $f'(x_0) = 1$

Для точки $(-13; 8)$:

$$y = 8 + 1 \cdot (x + 13) = x + 21$$

Для точки $(-3; -2)$:

$$y = -2 + 1 \cdot (x + 3) = x + 1$$

Шаг 5: Найдём пересечения с осью $y$

Подставляем $x = 0$:

• Для $y = x + 21$:
  $y = 0 + 21 = 21 \Rightarrow (0; 21)$
• Для $y = x + 1$:
  $y = 0 + 1 = 1 \Rightarrow (0; 1)$

Ответ (а):

$$\boxed{(0; 21),\quad (0; 1)}$$

б) $f(x) = \dfrac{x + 4}{x — 5}$, $a = 135^\circ$

Шаг 1: Найдём производную

Используем правило производной дроби:

• $u(x) = x + 4$, $u’ = 1$
• $v(x) = x — 5$, $v’ = 1$

$$f'(x) = \frac{1 \cdot (x — 5) — (x + 4) \cdot 1}{(x — 5)^2} = \frac{x — 5 — x — 4}{(x — 5)^2} = \frac{-9}{(x — 5)^2}$$

Шаг 2: Приравниваем производную к $\tan 135^\circ$

$$\tan 135^\circ = \tan (180^\circ — 45^\circ) = -\tan 45^\circ = -1$$ $$\frac{-9}{(x — 5)^2} = -1 \Rightarrow (x — 5)^2 = 9 \Rightarrow x — 5 = \pm 3$$

Находим:

$$x_1 = 5 — 3 = 2, \quad x_2 = 5 + 3 = 8$$

Шаг 3: Значения функции

При $x = 2$:

$$f(2) = \frac{2 + 4}{2 — 5} = \frac{6}{-3} = -2$$

При $x = 8$:

$$f(8) = \frac{8 + 4}{8 — 5} = \frac{12}{3} = 4$$

Шаг 4: Уравнения касательных

$$f'(x) = -1$$

Для точки $(2; -2)$:

$$y = -2 + (-1)(x — 2) = -2 — x + 2 = -x$$

Для точки $(8; 4)$:

$$y = 4 + (-1)(x — 8) = 4 — x + 8 = 12 — x$$

Шаг 5: Точки пересечения с осью $y$

Подставим $x = 0$:

• Для $y = -x$:
  $y = -0 = 0 \Rightarrow (0; 0)$
• Для $y = 12 — x$:
  $y = 12 — 0 = 12 \Rightarrow (0; 12)$

Ответ (б):

$$\boxed{{\displaystyle (0;0),(0;12)}}$$