ГДЗ 10-11 Класс Номер 29.28 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Проведите касательную к графику функции у = х² + 1,проходящую через точку А, не принадлежащую этому графику, если:

а) А (-1; 2);

б) А (0; 0);

в) А (0; -3);

г) А (-1; 1).

Провести касательную к графику функции $f(x) = x^2 + 1$, проходящую через точку $A$, не принадлежащую этому графику;

Пусть $x = a$ — точка касания, тогда:

$f(a) = a^2 + 1$;

$f'(a) = (x^2)’ + (1)’ = 2x + 0 = 2x = 2a$;

Уравнение касательной:

$y = f(a) + f'(a)(x — a) = (a^2 + 1) + 2a \cdot (x — a)$;

$y = a^2 + 1 + 2ax — 2a^2 = 2ax + 1 — a^2$;

а) $A(-1; -2)$;

Найдем значение числа $a$:

$-2 = 2a \cdot (-1) + 1 — a^2$;

$a^2 + 2a — 3 = 0$;

$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16$, тогда:

$a_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3$ и $a_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1$;

Уравнения касательных:

$y_1 = 2x \cdot (-3) + 1 — (-3)^2 = -6x + 1 — 9 = -6x — 8$;

$y_2 = 2x \cdot 1 + 1 — 1^2 = 2x + 1 — 1 = 2x$;

Ответ: $y = -6x — 8$; $y = 2x$.

б) $A(0; 0)$;

Найдем значение числа $a$:

$0 = 2a \cdot 0 + 1 — a^2$;

$a^2 = 1$;

$a = \pm \sqrt{1} = \pm 1$;

Уравнения касательных:

$y_1 = 2x \cdot (-1) + 1 — (-1)^2 = -2x + 1 — 1 = -2x$;

$y_2 = 2x \cdot 1 + 1 — 1^2 = 2x + 1 — 1 = 2x$;

Ответ: $y = -2x$; $y = 2x$.

в) $A(0; -3)$;

Найдем значение числа $a$:

$-3 = 2a \cdot 0 + 1 — a^2$;

$a^2 = 4$;

$a = \pm \sqrt{2} = \pm 2$;

Уравнения касательных:

$y_1 = 2x \cdot (-2) + 1 — (-2)^2 = -4x + 1 — 4 = -4x — 3$;

$y_2 = 2x \cdot 2 + 1 — 2^2 = 4x + 1 — 4 = 4x — 3$;

Ответ: $y = -4x — 3$; $y = 4x — 3$.

г) $A(-1; 1)$;

Найдем значение числа $a$:

$1 = 2a \cdot (-1) + 1 — a^2$;

$a^2 + 2a = 0$;

$(a + 2)a = 0$;

$a_1 = -2$ и $a_2 = 0$;

Уравнения касательных:

$y_1 = 2x \cdot (-2) + 1 — (-2)^2 = -4x + 1 — 4 = -4x — 3$;

$y_2 = 2x \cdot 0 + 1 — 0^2 = 1$;

Ответ: $y = -4x — 3$; $y = 1$.

Общая идея:

Мы хотим найти касательные к параболе $y = f(x) = x^2 + 1$, которые проходят через заданную точку $A(x_0; y_0)$, не лежащую на графике.

Касательная — это прямая, которая:

• касается графика в одной точке касания $x = a$;
• имеет наклон, равный производной $f'(a)$;
• и проходит через точку $A$.

Шаг 1: Уравнение касательной к графику

Функция:

$$f(x) = x^2 + 1$$

Найдем производную:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x$$

Пусть точка касания — это $x = a$. Тогда:

• Координаты точки касания:

  $$(a, f(a)) = (a, a^2 + 1)$$

• Производная в этой точке (наклон касательной):

  $$f'(a) = 2a$$

Уравнение касательной в точке $x = a$:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

Подставим значения:

$$y = a^2 + 1 + 2a(x — a)$$

Раскроем скобки:

$$y = a^2 + 1 + 2ax — 2a^2 = 2ax + 1 — a^2$$

Теперь мы знаем:
Уравнение касательной в общем виде:

$$y = 2a x + 1 — a^2$$

Шаг 2: Подставляем точку $A(x_0, y_0)$ в уравнение касательной

Касательная должна проходить через точку $A \Rightarrow$ подставляем $x = x_0$, $y = y_0$ в уравнение:

$$y_0 = 2a x_0 + 1 — a^2$$

Это уравнение относительно $a$ — найдем его значения (может быть 2 касательные → 2 значения $a$).

а) $A(-1; -2)$

Подставим в уравнение:

$$-2 = 2a \cdot (-1) + 1 — a^2$$ $$-2 = -2a + 1 — a^2$$

Переносим всё в одну сторону:

$$a^2 — 2a + 1 + 2 = 0 \Rightarrow a^2 + 2a — 3 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$a^2 + 2a — 3 = 0$$ $$D = (2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$ $$a_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}$$ $$a_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3, \quad a_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1$$

Уравнения касательных:

Для $a = -3$:

$$y = 2 \cdot (-3)x + 1 — (-3)^2 = -6x + 1 — 9 = -6x — 8$$

Для $a = 1$:

$$y = 2 \cdot 1 \cdot x + 1 — 1^2 = 2x + 1 — 1 = 2x$$

Ответ:

$$y = -6x — 8; \quad y = 2x$$

б) $A(0; 0)$

Подставим в уравнение:

$$0 = 2a \cdot 0 + 1 — a^2 \Rightarrow 0 = 1 — a^2 \Rightarrow a^2 = 1 \Rightarrow a = \pm 1$$

Уравнения касательных:

Для $a = -1$:

$$y = 2 \cdot (-1)x + 1 — (-1)^2 = -2x + 1 — 1 = -2x$$

Для $a = 1$:

$$y = 2x + 1 — 1 = 2x$$

Ответ:

$$y = -2x; \quad y = 2x$$

в) $A(0; -3)$

Подставим в уравнение:

$$-3 = 2a \cdot 0 + 1 — a^2 \Rightarrow -3 = 1 — a^2 \Rightarrow a^2 = 4 \Rightarrow a = \pm 2$$

Уравнения касательных:

Для $a = -2$:

$$y = 2 \cdot (-2)x + 1 — 4 = -4x + 1 — 4 = -4x — 3$$

Для $a = 2$:

$$y = 4x + 1 — 4 = 4x — 3$$

Ответ:

$$y = -4x — 3; \quad y = 4x — 3$$

г) $A(-1; 1)$

Подставим в уравнение:

$$1 = 2a \cdot (-1) + 1 — a^2 \Rightarrow 1 = -2a + 1 — a^2$$

Переносим всё в одну сторону:

$$a^2 + 2a = 0 \Rightarrow a(a + 2) = 0 \Rightarrow a = 0 \quad \text{или} \quad a = -2$$

Уравнения касательных:

Для $a = -2$:

$$y = 2 \cdot (-2)x + 1 — 4 = -4x + 1 — 4 = -4x — 3$$

Для $a = 0$:

$$y = 2 \cdot 0 \cdot x + 1 — 0^2 = 0 + 1 = 1$$

Ответ:

$$y=-4x-3;y=1$$