ГДЗ 10-11 Класс Номер 29.29 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Через точку В проведите касательную к графику функции у = f(x), если:

а) f(x) = -х² — 7х + 8, В(1; 1);

б) f(x) = -х² — 7х + 8, В(0; 9).

Через точку $B$ провести касательную к графику функции $y = f(x)$, если:

а) $f(x) = -x^2 — 7x + 8, \quad B(1; 1);$

Значение функции:

$$f(a) = -a^2 — 7a + 8;$$

Значение производной:

$$f'(a) = -(x^2)’ + (-7x + 8)’ = -2x — 7 = -2a — 7;$$

Уравнение касательной:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a) = (-a^2 — 7a + 8) + (-2a — 7)(x — a);$$ $$y = -a^2 — 7a + 8 — 2ax + 2a^2 — 7x + 7a = -2ax — 7x + a^2 + 8;$$

Найдем значение числа $a$:

$$1 = -2a \cdot 1 — 7 \cdot 1 + a^2 + 8;$$ $$a^2 — 2a = 0;$$ $$a(a — 2) = 0;$$ $$a_1 = 0 \quad \text{и} \quad a_2 = 2;$$

Уравнения касательных:

$$y_1 = -2x \cdot 0 — 7x + 0^2 + 8 = 8 — 7x;$$ $$y_2 = -2x \cdot 2 — 7x + 2^2 + 8 = -4x — 7x + 4 + 8 = 12 — 11x;$$

Ответ: $y = 8 — 7x; \quad y = 12 — 11x.$

б) $f(x) = -x^2 — 7x + 8, \quad B(0; 9);$

Значение функции:

$$f(a) = -a^2 — 7a + 8;$$

Значение производной:

$$f'(a) = -(x^2)’ + (-7x + 8)’ = -2x — 7 = -2a — 7;$$

Уравнение касательной:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a) = (-a^2 — 7a + 8) + (-2a — 7)(x — a);$$ $$y = -a^2 — 7a + 8 — 2ax + 2a^2 — 7x + 7a = -2ax — 7x + a^2 + 8;$$

Найдем значение числа $a$:

$$9 = -2a \cdot 0 — 7 \cdot 0 + a^2 + 8;$$ $$a^2 = 1;$$ $$a = \pm\sqrt{1} = \pm1;$$

Уравнения касательных:

$$y_1 = -2x \cdot (-1) — 7x + (-1)^2 + 8 = 2x — 7x + 1 + 8 = 9 — 5x;$$ $$y_2 = -2x \cdot 1 — 7x + 1^2 + 8 = -2x — 7x + 1 + 8 = 9 — 9x;$$

Ответ: $y = 9 — 5x; \quad y = 9 — 9x.$

Найти уравнения касательных к графику функции $y = f(x)$, проходящих через заданную точку $B(x_0; y_0)$, не лежащую на графике функции.

Шаг 1: Общая схема нахождения касательной

Для произвольной точки касания $x = a$,
касательная к графику функции $y = f(x)$ имеет уравнение:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

Это — точка наклонной прямой, проходящей через точку касания $(a; f(a))$, с угловым коэффициентом $f'(a)$.

Чтобы касательная проходила через точку $B(x_0; y_0)$, мы подставим координаты $B$ в уравнение касательной и решим полученное уравнение относительно $a$.

а) $f(x) = -x^2 — 7x + 8, \quad B(1; 1)$

1. Вычислим значение функции в точке касания $a$:

$$f(a) = -a^2 — 7a + 8$$

2. Вычислим производную $f'(x)$:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^2 — 7x + 8) = -2x — 7 \Rightarrow f'(a) = -2a — 7$$

3. Уравнение касательной в точке $x = a$:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

Подставим выражения:

$$y = (-a^2 — 7a + 8) + (-2a — 7)(x — a)$$

Раскроем скобки:

$$y = -a^2 — 7a + 8 — 2a(x — a) — 7(x — a)$$

Раскроем дальше:

$$y = -a^2 — 7a + 8 — 2a x + 2a^2 — 7x + 7a$$

Приведем подобные:

• $-a^2 + 2a^2 = a^2$
• $-7a + 7a = 0$
• $8$ — остается
• $-2a x — 7x = -2a x — 7x$

Итог:

$$y = -2a x — 7x + a^2 + 8$$

4. Подставим координаты точки $B(1; 1)$ в уравнение касательной:

$$1 = -2a \cdot 1 — 7 \cdot 1 + a^2 + 8$$ $$1 = -2a — 7 + a^2 + 8$$ $$1 = a^2 — 2a + 1 \Rightarrow a^2 — 2a = 0 \Rightarrow a(a — 2) = 0$$

5. Решаем:

$$a_1 = 0, \quad a_2 = 2$$

6. Найдём уравнения касательных:

Для $a = 0$:

$$f'(0) = -2 \cdot 0 — 7 = -7$$ $$f(0) = -0^2 — 7 \cdot 0 + 8 = 8$$ $$y = f(0) + f'(0)(x — 0) = 8 — 7x$$

Для $a = 2$:

$$f'(2) = -2 \cdot 2 — 7 = -4 — 7 = -11$$ $$f(2) = -4 — 14 + 8 = -10$$ $$y = -10 -11(x — 2) = -10 — 11x + 22 = 12 — 11x$$

Ответ (а):

$$\boxed{y = 8 — 7x; \quad y = 12 — 11x}$$

б) $f(x) = -x^2 — 7x + 8, \quad B(0; 9)$

1. Значение функции в $a$:

$$f(a) = -a^2 — 7a + 8$$

2. Производная:

$$f'(a) = -2a — 7$$

3. Уравнение касательной:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a) = -a^2 — 7a + 8 + (-2a — 7)(x — a)$$

Раскроем скобки:

$$y = -a^2 — 7a + 8 — 2a x + 2a^2 — 7x + 7a$$

Приводим:

• $-a^2 + 2a^2 = a^2$
• $-7a + 7a = 0$
• $8$
• $-2a x — 7x$

Итог:

$$y = -2a x — 7x + a^2 + 8$$

4. Подставим точку $B(0; 9)$:

$$9 = -2a \cdot 0 — 7 \cdot 0 + a^2 + 8 \Rightarrow 9 = a^2 + 8 \Rightarrow a^2 = 1 \Rightarrow a = \pm 1$$

5. Уравнения касательных:

Для $a = -1$:

$$f'(-1) = -2 \cdot (-1) — 7 = 2 — 7 = -5$$ $$f(-1) = -1 + 7 + 8 = 14$$ $$y = 14 — 5(x + 1) = 14 — 5x — 5 = 9 — 5x$$

Для $a = 1$:

$$f'(1) = -2 — 7 = -9$$ $$f(1) = -1 — 7 + 8 = 0$$ $$y = 0 — 9(x — 1) = -9x + 9 \Rightarrow y = 9 — 9x$$

Ответ (б):

$$\boxed{{\displaystyle y=9-5x;y=9-9x}}$$