ГДЗ 10-11 Класс Номер 29.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Выяснить, тупой или острый угол образует касательная к графику функции $y = f(x)$, проведенная в точке с абсциссой $x = a$, если:

а) $f(x) = 4 + x^2$, $a = 2$;
$f'(x) = (4)’ + (x^2)’ = 0 + 2x = 2x$;
$f'(2) = 2 \cdot 2 = 4 > 0$;
Ответ: острый.

б) $f(x) = 1 — \frac{1}{x}$, $a = 3$;
$f'(x) = (1)’ — \left( \frac{1}{x} \right)’ = 0 — \left( -\frac{1}{x^2} \right) = \frac{1}{x^2}$;
$f'(3) = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} > 0$;
Ответ: острый.

в) $f(x) = (1 — x)^3$, $a = -3$;
$f'(x) = (1 — x)^3 = -1 \cdot 3(1 — x)^2 = -3(1 — x)^2$;
$f'(-3) = -3 \cdot (1 + 3)^2 = -3 \cdot 4^2 = -3 \cdot 16 = -48 < 0$;
Ответ: тупой.

г) $f(x) = 2x — x^3$, $a = 1$;
$f'(x) = (2x)’ — (x^3)’ = 2 — 3x^2$;
$f'(1) = 2 — 3 \cdot 1^2 = 2 — 3 = -1 < 0$;
Ответ: тупой.

Теоретическая справка

Касательная к графику функции $y = f(x)$, проведённая в точке $x = a$, имеет наклон, равный производной функции в этой точке:

$$k = f'(a)$$

• Если $f'(a) > 0$, касательная поднимается вверх слева направо → она образует острый угол с положительным направлением оси $OX$ (то есть угол меньше 90°).
• Если $f'(a) < 0$, касательная опускается вниз слева направо → она образует тупой угол с положительным направлением оси $OX$ (то есть угол больше 90°).

Теперь переходим к разбору каждого случая.

а) $f(x) = 4 + x^2$, $a = 2$

Шаг 1: Найдём производную функции

Используем правило производной суммы:

$$f(x) = 4 + x^2 \Rightarrow f'(x) = (4)’ + (x^2)’ = 0 + 2x = 2x$$

Шаг 2: Подставим значение $x = 2$

$$f'(2) = 2 \cdot 2 = 4$$

Шаг 3: Анализ знака производной

$$f'(2) = 4 > 0 \Rightarrow \text{наклон касательной положителен}$$

Вывод

Касательная поднимается вверх → угол острый.
Ответ: острый.

б) $f(x) = 1 — \frac{1}{x}$, $a = 3$

Шаг 1: Найдём производную

$$f(x) = 1 — \frac{1}{x} \Rightarrow f'(x) = (1)’ — \left( \frac{1}{x} \right)’$$

Производная постоянного числа 1 равна 0. Производную $\frac{1}{x}$ можно записать как $x^{-1}$, тогда:

$$\left( \frac{1}{x} \right)’ = \left( x^{-1} \right)’ = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$$ $$\Rightarrow f'(x) = 0 — (-\frac{1}{x^2}) = \frac{1}{x^2}$$

Шаг 2: Подставим значение $x = 3$

$$f'(3) = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$$

Шаг 3: Анализ знака

$$f'(3) = \frac{1}{9} > 0 \Rightarrow \text{наклон положителен}$$

Вывод

Касательная направлена вверх → угол острый.
Ответ: острый.

в) $f(x) = (1 — x)^3$, $a = -3$

Шаг 1: Найдём производную

Функция: $f(x) = (1 — x)^3$. Используем правило производной сложной функции:

$$f(x) = [u(x)]^3, \text{ где } u(x) = 1 — x \Rightarrow f'(x) = 3[u(x)]^2 \cdot u'(x)$$ $$u(x) = 1 — x \Rightarrow u'(x) = -1 \Rightarrow f'(x) = 3(1 — x)^2 \cdot (-1) = -3(1 — x)^2$$

Шаг 2: Подставим значение $x = -3$

$$f'(-3) = -3(1 — (-3))^2 = -3(1 + 3)^2 = -3 \cdot 4^2 = -3 \cdot 16 = -48$$

Шаг 3: Анализ знака

$$f'(-3) = -48 < 0 \Rightarrow \text{наклон отрицателен}$$

Вывод

Касательная опускается вниз → угол тупой.
Ответ: тупой.

г) $f(x) = 2x — x^3$, $a = 1$

Шаг 1: Найдём производную

$$f(x) = 2x — x^3 \Rightarrow f'(x) = (2x)’ — (x^3)’ = 2 — 3x^2$$

Шаг 2: Подставим значение $x = 1$

$$f'(1) = 2 — 3 \cdot (1)^2 = 2 — 3 = -1$$

Шаг 3: Анализ знака

$$f'(1) = -1 < 0 \Rightarrow \text{наклон отрицателен}$$

Вывод

Касательная убывает → угол тупой.
Ответ: тупой.

Окончательные ответы:

а) острый
б) острый
в) тупой
г) тупой