ГДЗ 10-11 Класс Номер 29.30 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Через точку $B$ провести касательную к графику функции $y = f(x)$, если:

а) $f(x) = \sqrt{3 — x}, \; B(-2; 3);$

Значение функции:
$f(a) = \sqrt{3 — a};$

Значение производной:
$f'(a) = -1 \cdot \frac{1}{2\sqrt{3 — x}} = -\frac{1}{2\sqrt{3 — a}};$

Уравнение касательной:
$y = f(a) + f'(a)(x — a) = \sqrt{3 — a} — \frac{1}{2\sqrt{3 — a}}(x — a);$
$y = \frac{2(3 — a) — (x — a)}{2\sqrt{3 — a}} = \frac{6 — 2a — x + a}{2\sqrt{3 — a}} = \frac{6 — x — a}{2\sqrt{3 — a}};$

Найдем значение числа $a$:
$3 = \frac{6 — (-2) — a}{2\sqrt{3 — a}};$
$6\sqrt{3 — a} = 8 — a;$
$36(3 — a) = (8 — a)^2;$
$108 — 36a = 64 — 16a + a^2;$
$a^2 + 20a — 44 = 0;$
$D = 20^2 + 4 \cdot 44 = 400 + 176 = 576,$ тогда:
$a_1 = \frac{-20 — 24}{2} = -22$ и $a_2 = \frac{-20 + 24}{2} = 2;$

Уравнения касательных:
$y_1 = \frac{6 — x + 22}{2\sqrt{3 + 22}} = \frac{28 — x}{2\sqrt{25}} = \frac{28 — x}{2 \cdot 5} = \frac{28 — x}{10} = 2,8 — 0,1x;$
$y_2 = \frac{6 — x — 2}{2\sqrt{3 — 2}} = \frac{4 — x}{2\sqrt{1}} = \frac{4 — x}{2} = 2 — 0,5x;$

Ответ: $y = 2{,}8 — 0{,}1x; \; y = 2 — 0{,}5x.$

б) $f(x) = \sqrt{3 — x}, \; B(4; 0);$

Значение функции:
$f(a) = \sqrt{3 — a};$

Значение производной:
$f'(a) = -1 \cdot \frac{1}{2\sqrt{3 — x}} = -\frac{1}{2\sqrt{3 — a}};$

Уравнение касательной:
$y = f(a) + f'(a)(x — a) = \sqrt{3 — a} — \frac{1}{2\sqrt{3 — a}}(x — a);$
$y = \frac{2(3 — a) — (x — a)}{2\sqrt{3 — a}} = \frac{6 — 2a — x + a}{2\sqrt{3 — a}} = \frac{6 — x — a}{2\sqrt{3 — a}};$

Найдем значение числа $a$:
$0 = \frac{6 — 4 — a}{2\sqrt{3 — a}};$
$2 — a = 0;$
$a = 2;$

Уравнения касательных:
$y_1 = \frac{6 — x — 2}{2\sqrt{3 — 2}} = \frac{4 — x}{2\sqrt{1}} = \frac{4 — x}{2} = 2 — 0,5x$

Ответ: $y = 2 — 0{,}5x.$

Функция:

$$f(x) = \sqrt{3 — x}$$

Производная функции:

$$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{3 — x} \right) = \frac{1}{2\sqrt{3 — x}} \cdot (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{3 — x}}$$

Уравнение касательной в точке $x = a$:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

Подставим найденные значения:

$$y = \sqrt{3 — a} — \frac{1}{2\sqrt{3 — a}}(x — a)$$

Для удобства выразим это в виде одной дроби. Умножим числитель и приведём:

$$y = \frac{2(3 — a) — (x — a)}{2\sqrt{3 — a}} = \frac{6 — 2a — x + a}{2\sqrt{3 — a}} = \frac{6 — x — a}{2\sqrt{3 — a}}$$

Теперь нужно, чтобы точка $B(x_0, y_0)$ удовлетворяла уравнению касательной:

$$y_0 = \frac{6 — x_0 — a}{2\sqrt{3 — a}}$$

Это уравнение мы решаем относительно $a$, находим все возможные точки касания, а затем подставляем их обратно в уравнение касательной.

а) $f(x) = \sqrt{3 — x}$, точка $B(-2; 3)$

Шаг 1. Уравнение через точку:

Подставим в формулу:

$$3 = \frac{6 — (-2) — a}{2\sqrt{3 — a}} = \frac{8 — a}{2\sqrt{3 — a}}$$

Шаг 2. Уберем знаменатель, умножив обе части на $2\sqrt{3 — a}$:

$$3 \cdot 2\sqrt{3 — a} = 8 — a \Rightarrow 6\sqrt{3 — a} = 8 — a$$

Шаг 3. Возведем обе части в квадрат:

$$(6\sqrt{3 — a})^2 = (8 — a)^2 \Rightarrow 36(3 — a) = 64 — 16a + a^2$$

Раскроем скобки:

$$108 — 36a = 64 — 16a + a^2$$

Перенесем всё в одну сторону:

$$0 = a^2 + 20a — 44$$

Шаг 4. Решим квадратное уравнение:

$$D = 20^2 + 4 \cdot 44 = 400 + 176 = 576 \Rightarrow \sqrt{D} = 24$$ $$a_1 = \frac{-20 — 24}{2} = -22, \quad a_2 = \frac{-20 + 24}{2} = 2$$

Шаг 5. Уравнения касательных

Подставим значения $a_1 = -22$ и $a_2 = 2$ в уравнение касательной:

Для $a = -22$:

$$y = \frac{6 — x — a}{2\sqrt{3 — a}} = \frac{6 — x + 22}{2\sqrt{3 + 22}} = \frac{28 — x}{2\sqrt{25}} = \frac{28 — x}{10} \Rightarrow y = 2.8 — 0.1x$$

Для $a = 2$:

$$y = \frac{6 — x — 2}{2\sqrt{3 — 2}} = \frac{4 — x}{2\cdot1} = \frac{4 — x}{2} \Rightarrow y = 2 — 0.5x$$

Ответ (а):

$$\boxed{y = 2{,}8 — 0{,}1x;\quad y = 2 — 0{,}5x}$$

б) $f(x) = \sqrt{3 — x}$, точка $B(4; 0)$

Шаг 1. Подставим точку в уравнение касательной:

$$0 = \frac{6 — 4 — a}{2\sqrt{3 — a}} = \frac{2 — a}{2\sqrt{3 — a}}$$

Для дроби быть равной нулю — числитель должен быть равен нулю:

$$2 — a = 0 \Rightarrow a = 2$$

Шаг 2. Найдём уравнение касательной при $a = 2$:

$$y = \frac{6 — x — 2}{2\sqrt{3 — 2}} = \frac{4 — x}{2 \cdot 1} = \frac{4 — x}{2} \Rightarrow y = 2 — 0.5x$$

Ответ (б):

$$\boxed{{\displaystyle y=2-\mathrm{0,5}x}}$$