ГДЗ Мордкович 10-11 Класс Алгебра И Начала Математического Анализа Задачник 📕 — Все Части

Алгебра

10-11 класс задачник алгебра и начала математического анализа Мордкович

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.

Год

2015-2020.

Издательство

Мнемозина.

Описание

Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.

ГДЗ 10-11 Класс Номер 29.32 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Задача

Составьте уравнения тех касательных к графику функции

$y = \frac{\sqrt{3}}{6} (1 - x^{2}),$

которые пересекаются под углом 120 в точке, лежащей на оси у.

Краткий ответ:

Дана функция:

$f (x) = \frac{\sqrt{3}}{6} (1 - x^{2});$

Пусть $x = a$ — точка касания, тогда:

$f (a) = \frac{\sqrt{3}}{6} (1 - a^{2}) = \frac{\sqrt{3}}{6} - \frac{\sqrt{3}}{6} a^{2};$ $f^{'} (a) = \frac{\sqrt{3}}{6} ((1)^{'} - (x^{2})^{'}) = \frac{\sqrt{3}}{6} (0 - 2 x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{6} x = - \frac{2 \sqrt{3}}{6} a;$

Уравнение касательной:

$y = f (a) + f^{'} (a) (x - a) = \frac{\sqrt{3}}{6} - \frac{\sqrt{3}}{6} a^{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{6} a \cdot (x - a);$ $y = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{3} a^{2} - 2 \sqrt{3} a x + 2 \sqrt{3} a^{2}}{6} = \frac{\sqrt{3} a^{2} - 2 \sqrt{3} a x + \sqrt{3}}{6};$ $k = - \frac{2 \sqrt{3} a}{6} = - \frac{\sqrt{3} a}{3};$

Прямые пересекаются в точке, лежащей на оси $y$ :

$\frac{\sqrt{3} a_{1}^{2} - 2 \sqrt{3} a_{1} \cdot 0 + \sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3} a_{2}^{2} - 2 \sqrt{3} a_{2} \cdot 0 + \sqrt{3}}{6};$ $\sqrt{3} a_{1}^{2} + \sqrt{3} = \sqrt{3} a_{2}^{2} + \sqrt{3};$ $a_{1}^{2} = a_{2}^{2};$ $a_{1} = \pm a_{2};$

Прямые пересекаются под углом $120^{\circ}$ :

$\frac{k_{1} - k_{2}}{1 + k_{1} \cdot k_{2}} = t g 120^{\circ};$ $\frac{- \frac{\sqrt{3} a_{1}}{3} + \frac{\sqrt{3} a_{2}}{3}}{1 + (- \frac{\sqrt{3} a_{1}}{3}) (\frac{\sqrt{3} a_{2}}{3})} = t g (180^{\circ} - 60^{\circ});$ $\frac{\sqrt{3} (a_{2} - a_{1})}{3 (1 + \frac{a_{1} a_{2}}{3})} = - t g 60^{\circ};$ $\frac{\sqrt{3} (a_{2} - a_{1})}{3 + a_{1} a_{2}} = - \sqrt{3};$ $\sqrt{3} (a_{2} - a_{1}) = - \sqrt{3} (3 + a_{1} a_{2});$ $a_{1} - a_{2} = 3 + a_{1} a_{2};$

Подставим значение $a_{2}$ :

$- a_{2} - a_{2} = 3 - a_{2} \cdot a_{2};$ $a_{2}^{2} - 2 a_{2} - 3 = 0;$ $D = 2^{2} + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, тогда:$ $a_{21} = \frac{2 - 4}{2} = 1 и a_{22} = \frac{2 + 4}{2} = 3;$ $a_{11} = - 1 и a_{12} = - 3;$

Уравнения касательных:

$y_{11} = \frac{\sqrt{3} \cdot (- 1)^{2} - 2 \sqrt{3} x \cdot (- 1) + \sqrt{3}}{6} = \frac{2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} x}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} (1 + x);$ $y_{21} = \frac{\sqrt{3} \cdot 1^{2} - 2 \sqrt{3} x \cdot 1 + \sqrt{3}}{6} = \frac{2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} x}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} (1 - x);$ $y_{12} = \frac{\sqrt{3} \cdot (- 3)^{2} - 2 \sqrt{3} x \cdot (- 3) + \sqrt{3}}{6} = \frac{10 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} x}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} (5 + 3 x);$ $y_{22} = \frac{\sqrt{3} \cdot 3^{2} - 2 \sqrt{3} x \cdot 3 + \sqrt{3}}{6} = \frac{10 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} x}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} (5 - 3 x);$

Ответ:

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} (1 + x) и y = \frac{\sqrt{3}}{3} (1 - x);$ $y = \frac{\sqrt{3}}{3} (5 + 3 x) и y = \frac{\sqrt{3}}{3} (5 - 3 x) .$

Подробный ответ:

Дана функция:

$f (x) = \frac{\sqrt{3}}{6} (1 - x^{2})$

Нужно:

Найти уравнения касательных, проведённых в двух точках $x = a_{1}$ и $x = a_{2}$ графика функции $f (x)$ ,
Причём:
- Касательные пересекаются в точке, лежащей на оси $y$ ;
- Угол между касательными — $120^{\circ}$ .

Шаг 1. Значения функции и производной в точке касания $x = a$

Пусть $x = a$ — точка касания.

Значение функции в точке $x = a$ :

$f (a) = \frac{\sqrt{3}}{6} (1 - a^{2}) = \frac{\sqrt{3}}{6} - \frac{\sqrt{3}}{6} a^{2}$

Найдём производную $f^{'} (x)$ :

$f (x) = \frac{\sqrt{3}}{6} (1 - x^{2}) \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{\sqrt{3}}{6} (0 - 2 x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{6} x = - \frac{\sqrt{3}}{3} x$

Тогда:

$f^{'} (a) = - \frac{\sqrt{3}}{3} a$

Шаг 2. Уравнение касательной в точке $x = a$

Общий вид уравнения касательной:

$y = f (a) + f^{'} (a) (x - a)$

Подставим:

$y = (\frac{\sqrt{3}}{6} - \frac{\sqrt{3}}{6} a^{2}) + (- \frac{\sqrt{3}}{3} a) (x - a)$

Раскроем скобки:

$y = \frac{\sqrt{3}}{6} - \frac{\sqrt{3}}{6} a^{2} - \frac{\sqrt{3}}{3} a x + \frac{\sqrt{3}}{3} a^{2}$

Приведём подобные:

$y = (\frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{\sqrt{3}}{3} a^{2} - \frac{\sqrt{3}}{6} a^{2}) - \frac{\sqrt{3}}{3} a x \Rightarrow y = \frac{\sqrt{3} (1 + a^{2})}{6} - \frac{\sqrt{3}}{3} a x$

Можно записать в исходном виде:

$y = \frac{\sqrt{3} a^{2} - 2 \sqrt{3} a x + \sqrt{3}}{6}$

Шаг 3. Точка пересечения касательных лежит на оси $y$

Пусть у нас есть две касательные: одна в точке $x = a_{1}$ , другая — в $x = a_{2}$ .

Точка пересечения касательных лежит на оси $y$ ⇒ они пересекаются при $x = 0$ .

Подставим $x = 0$ в обе касательные и приравняем:

$\frac{\sqrt{3} a_{1}^{2} - 2 \sqrt{3} a_{1} \cdot 0 + \sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3} a_{2}^{2} - 2 \sqrt{3} a_{2} \cdot 0 + \sqrt{3}}{6}$ $\frac{\sqrt{3} (a_{1}^{2} + 1)}{6} = \frac{\sqrt{3} (a_{2}^{2} + 1)}{6} \Rightarrow a_{1}^{2} = a_{2}^{2} \Rightarrow a_{1} = \pm a_{2}$

Шаг 4. Касательные пересекаются под углом $120^{\circ}$

Формула угла между прямыми с угловыми коэффициентами $k_{1}$ , $k_{2}$ :

$\tan (θ) = ∣ \frac{k_{1} - k_{2}}{1 + k_{1} k_{2}} ∣ \Rightarrow \frac{k_{1} - k_{2}}{1 + k_{1} k_{2}} = \tan (120^{\circ}) = - \sqrt{3}$

Напомним:

$k = f^{'} (a) = - \frac{\sqrt{3}}{3} a$

Значит:

$k_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3} a_{1}, k_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{3} a_{2}$

Подставим в формулу:

$\frac{- \frac{\sqrt{3}}{3} a_{1} - (- \frac{\sqrt{3}}{3} a_{2})}{1 + (- \frac{\sqrt{3}}{3} a_{1}) (- \frac{\sqrt{3}}{3} a_{2})} = - \sqrt{3}$

Упростим числитель и знаменатель:

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} (a_{2} - a_{1})}{1 + \frac{3}{9} a_{1} a_{2}} = - \sqrt{3} \Rightarrow \frac{\sqrt{3} (a_{2} - a_{1})}{3 + a_{1} a_{2}} = - \sqrt{3}$

Упростим:

$\sqrt{3} (a_{2} - a_{1}) = - \sqrt{3} (3 + a_{1} a_{2}) \Rightarrow a_{1} - a_{2} = 3 + a_{1} a_{2}$

Шаг 5. Подставим $a_{1} = - a_{2}$

Из условия ранее: $a_{1} = - a_{2}$

Тогда:

$a_{1} - a_{2} = - a_{2} - a_{2} = - 2 a_{2}$ $a_{1} a_{2} = - a_{2}^{2}$

Подставим в уравнение:

$- 2 a_{2} = 3 - a_{2}^{2} \Rightarrow a_{2}^{2} - 2 a_{2} - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$D = (- 2)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 + 12 = 16$ $a_{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \Rightarrow a_{2} = - 1, 3$

Тогда:

$a_{1} = 1, - 3$

Шаг 6. Уравнения касательных для всех значений $a$

1) $a = - 1$ :

$y = \frac{\sqrt{3} (- 1)^{2} - 2 \sqrt{3} x \cdot (- 1) + \sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3} + 2 \sqrt{3} x + \sqrt{3}}{6} =$

$= \frac{2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} x}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} (1 + x)$

2) $a = 1$ :

$y = \frac{\sqrt{3} (1)^{2} - 2 \sqrt{3} x + \sqrt{3}}{6} = \frac{2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} x}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} (1 - x)$

3) $a = - 3$ :

$y = \frac{\sqrt{3} \cdot 9 + 6 \sqrt{3} x + \sqrt{3}}{6} = \frac{10 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} x}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} (5 + 3 x)$

4) $a = 3$ :

$y = \frac{9 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} x + \sqrt{3}}{6} = \frac{10 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} x}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} (5 - 3 x)$

Ответ:

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} (1 + x), y = \frac{\sqrt{3}}{3} (1 - x)$ $y = \frac{\sqrt{3}}{3} (5 + 3 x), y = \frac{\sqrt{3}}{3} (5 - 3 x)$

Оцени решение