ГДЗ 10-11 Класс Номер 29.32 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Составьте уравнения тех касательных к графику функции

$$y=\frac{\sqrt{3}}{6}(1-x^2),$$

которые пересекаются под углом 120 в точке, лежащей на оси у.

Дана функция:

$$f(x)=\frac{\sqrt{3}}{6}(1-x^2);$$

Пусть $x=a$ — точка касания, тогда:

$$f(a)=\frac{\sqrt{3}}{6}(1-a^2)=\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{\sqrt{3}}{6}{a}^2;$$$$f^{\mathrm{\prime }}(a)=\frac{\sqrt{3}}{6}((1{)}^{\mathrm{\prime }}-(x^2{)}^{\mathrm{\prime }})=\frac{\sqrt{3}}{6}(0-2x)=-\frac{2\sqrt{3}}{6}x=-\frac{2\sqrt{3}}{6}a;$$

Уравнение касательной:

$$y=f(a)+f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)=\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{\sqrt{3}}{6}{a}^2-\frac{2\sqrt{3}}{6}a\cdot (x-a);$$$$y=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{3}{a}^2-2\sqrt{3}ax+2\sqrt{3}{a}^2}{6}=\frac{\sqrt{3}{a}^2-2\sqrt{3}ax+\sqrt{3}}{6};$$$$k=-\frac{2\sqrt{3}a}{6}=-\frac{\sqrt{3}a}{3};$$

Прямые пересекаются в точке, лежащей на оси $y$:

$$\frac{\sqrt{3}{a}_1^2-2\sqrt{3}{a}_1\cdot 0+\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}{a}_2^2-2\sqrt{3}{a}_2\cdot 0+\sqrt{3}}{6};$$$$\sqrt{3}{a}_1^2+\sqrt{3}=\sqrt{3}{a}_2^2+\sqrt{3};$$$$a_1^2=a_2^2;$$$$a_1=\pm a_2;$$

Прямые пересекаются под углом ${120}^{\circ }$:

$$\frac{k_1-k_2}{1+k_1\cdot k_2}=tg{120}^{\circ };$$$$\frac{-\frac{\sqrt{3}{a}_1}{3}+\frac{\sqrt{3}{a}_2}{3}}{1+(-\frac{\sqrt{3}{a}_1}{3})\left(\frac{\sqrt{3}{a}_2}{3}\right)}=tg({180}^{\circ }-{60}^{\circ });$$$$\frac{\sqrt{3}(a_2-a_1)}{3(1+\frac{a_1{a}_2}{3})}=-tg{60}^{\circ };$$$$\frac{\sqrt{3}(a_2-a_1)}{3+a_1{a}_2}=-\sqrt{3};$$$$\sqrt{3}(a_2-a_1)=-\sqrt{3}(3+a_1{a}_2);$$$$a_1-a_2=3+a_1{a}_2;$$

Подставим значение $a_2$:

$$-a_2-a_2=3-a_2\cdot a_2;$$$$a_2^2-2a_2-3=0;$$$$D=2^2+4\cdot 3=4+12=16,\text{ тогда:}$$$$a_{21}=\frac{2-4}{2}=1\text{и}{a}_{22}=\frac{2+4}{2}=3;$$$$a_{11}=-1\text{и}{a}_{12}=-3;$$

Уравнения касательных:

$$y_{11}=\frac{\sqrt{3}\cdot (-1{)}^2-2\sqrt{3}x\cdot (-1)+\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}+2\sqrt{3}x}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}(1+x);$$$$y_{21}=\frac{\sqrt{3}\cdot 1^2-2\sqrt{3}x\cdot 1+\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}-2\sqrt{3}x}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}(1-x);$$$$y_{12}=\frac{\sqrt{3}\cdot (-3{)}^2-2\sqrt{3}x\cdot (-3)+\sqrt{3}}{6}=\frac{10\sqrt{3}+6\sqrt{3}x}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}(5+3x);$$$$y_{22}=\frac{\sqrt{3}\cdot 3^2-2\sqrt{3}x\cdot 3+\sqrt{3}}{6}=\frac{10\sqrt{3}-6\sqrt{3}x}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}(5-3x);$$

Ответ:

$$y=\frac{\sqrt{3}}{3}(1+x)\text{и}y=\frac{\sqrt{3}}{3}(1-x);$$$$y=\frac{\sqrt{3}}{3}(5+3x)\text{и}y=\frac{\sqrt{3}}{3}(5-3x)\mathrm{.}$$

Дана функция:

$$f(x)=\frac{\sqrt{3}}{6}(1-x^2)$$

Нужно:

• Найти уравнения касательных, проведённых в двух точках $x=a_1$ и $x=a_2$ графика функции $f(x)$,
• Причём:
  • Касательные пересекаются в точке, лежащей на оси $y$;
  • Угол между касательными — ${120}^{\circ }$.

Шаг 1. Значения функции и производной в точке касания $x=a$

Пусть $x=a$ — точка касания.

Значение функции в точке $x=a$:

$$f(a)=\frac{\sqrt{3}}{6}(1-a^2)=\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{\sqrt{3}}{6}{a}^2$$

Найдём производную $f^{\mathrm{\prime }}(x)$:

$$f(x)=\frac{\sqrt{3}}{6}(1-x^2)\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{\sqrt{3}}{6}(0-2x)=-\frac{2\sqrt{3}}{6}x=-\frac{\sqrt{3}}{3}x$$

Тогда:

$$f^{\mathrm{\prime }}(a)=-\frac{\sqrt{3}}{3}a$$

Шаг 2. Уравнение касательной в точке $x=a$

Общий вид уравнения касательной:

$$y=f(a)+f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)$$

Подставим:

$$y=(\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{\sqrt{3}}{6}{a}^2)+(-\frac{\sqrt{3}}{3}a)(x-a)$$

Раскроем скобки:

$$y=\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{\sqrt{3}}{6}{a}^2-\frac{\sqrt{3}}{3}ax+\frac{\sqrt{3}}{3}{a}^2$$

Приведём подобные:

$$y=(\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{\sqrt{3}}{3}{a}^2-\frac{\sqrt{3}}{6}{a}^2)-\frac{\sqrt{3}}{3}ax\Rightarrow y=\frac{\sqrt{3}(1+a^2)}{6}-\frac{\sqrt{3}}{3}ax$$

Можно записать в исходном виде:

$$y=\frac{\sqrt{3}{a}^2-2\sqrt{3}ax+\sqrt{3}}{6}$$

Шаг 3. Точка пересечения касательных лежит на оси $y$

Пусть у нас есть две касательные: одна в точке $x=a_1$, другая — в $x=a_2$.

Точка пересечения касательных лежит на оси $y$ ⇒ они пересекаются при $x=0$.

Подставим $x=0$ в обе касательные и приравняем:

$$\frac{\sqrt{3}{a}_1^2-2\sqrt{3}{a}_1\cdot 0+\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}{a}_2^2-2\sqrt{3}{a}_2\cdot 0+\sqrt{3}}{6}$$$$\frac{\sqrt{3}(a_1^2+1)}{6}=\frac{\sqrt{3}(a_2^2+1)}{6}\Rightarrow a_1^2=a_2^2\Rightarrow a_1=\pm a_2$$

Шаг 4. Касательные пересекаются под углом ${120}^{\circ }$

Формула угла между прямыми с угловыми коэффициентами $k_1$, $k_2$:

$$\tan (\theta )=\mid \frac{k_1-k_2}{1+k_1{k}_2}\mid \Rightarrow \frac{k_1-k_2}{1+k_1{k}_2}=\tan ({120}^{\circ })=-\sqrt{3}$$

Напомним:

$$k=f^{\mathrm{\prime }}(a)=-\frac{\sqrt{3}}{3}a$$

Значит:

$$k_1=-\frac{\sqrt{3}}{3}{a}_1,k_2=-\frac{\sqrt{3}}{3}{a}_2$$

Подставим в формулу:

$$\frac{-\frac{\sqrt{3}}{3}{a}_1-(-\frac{\sqrt{3}}{3}{a}_2)}{1+(-\frac{\sqrt{3}}{3}{a}_1)(-\frac{\sqrt{3}}{3}{a}_2)}=-\sqrt{3}$$

Упростим числитель и знаменатель:

$$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}(a_2-a_1)}{1+\frac{3}{9}{a}_1{a}_2}=-\sqrt{3}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}(a_2-a_1)}{3+a_1{a}_2}=-\sqrt{3}$$

Упростим:

$$\sqrt{3}(a_2-a_1)=-\sqrt{3}(3+a_1{a}_2)\Rightarrow a_1-a_2=3+a_1{a}_2$$

Шаг 5. Подставим $a_1=-a_2$

Из условия ранее: $a_1=-a_2$

Тогда:

$$a_1-a_2=-a_2-a_2=-2a_2$$$$a_1{a}_2=-a_2^2$$

Подставим в уравнение:

$$-2a_2=3-a_2^2\Rightarrow a_2^2-2a_2-3=0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-2{)}^2+4\cdot 1\cdot 3=4+12=16$$$$a_2=\frac{2\pm \sqrt{16}}{2}=\frac{2\pm 4}{2}\Rightarrow a_2=-1,3$$

Тогда:

$$a_1=1,-3$$

Шаг 6. Уравнения касательных для всех значений $a$

1) $a=-1$:

$$y=\frac{\sqrt{3}(-1{)}^2-2\sqrt{3}x\cdot (-1)+\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{3}x+\sqrt{3}}{6}=$$

$$=\frac{2\sqrt{3}+2\sqrt{3}x}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}(1+x)$$

2) $a=1$:

$$y=\frac{\sqrt{3}(1{)}^2-2\sqrt{3}x+\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}-2\sqrt{3}x}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}(1-x)$$

3) $a=-3$:

$$y=\frac{\sqrt{3}\cdot 9+6\sqrt{3}x+\sqrt{3}}{6}=\frac{10\sqrt{3}+6\sqrt{3}x}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}(5+3x)$$

4) $a=3$:

$$y=\frac{9\sqrt{3}-6\sqrt{3}x+\sqrt{3}}{6}=\frac{10\sqrt{3}-6\sqrt{3}x}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}(5-3x)$$

Ответ:

$$y=\frac{\sqrt{3}}{3}(1+x),y=\frac{\sqrt{3}}{3}(1-x)$$$$y=\frac{\sqrt{3}}{3}(5+3x),y=\frac{\sqrt{3}}{3}(5-3x)$$