ГДЗ 10-11 Класс Номер 29.36 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) На оси у взята точка В, из неё проведены касательные к графику функции у $=\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^2+\frac{\sqrt{3}}{2}$. Известно, что эти касательные образуют между собой угол 60. Найдите координаты точки В.

б) Составьте уравнения тех касательных к графику функции у $=\frac{\sqrt{3}}{6}(1-x^2)$, которые пересекаются под углом 120 в точке, лежащей на оси у.

На оси $y$ взята точка $B$, касательные, проведенные к графику функции
$y = f(x)$, пересекаются в этой точке под заданным углом;

а) $f(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}x^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}$;
Пусть $x = a$ — точка касания, тогда:
$f(a) = \frac{\sqrt{3}}{2}a^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}$;
$f'(a) = \frac{\sqrt{3}}{2}(x^2)’ + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)’ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2x + 0 = \sqrt{3}x = \sqrt{3}a$;

Уравнение касательной:
$y = f(a) + f'(a)(x — a) = \frac{\sqrt{3}}{2}a^2 + \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}a \cdot (x — a)$;
$y = \frac{\sqrt{3}}{2}a^2 + \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}ax — \sqrt{3}a^2 = a\sqrt{3}x + \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2}a^2$;
$k = a\sqrt{3}$;

Прямые пересекаются в точке, лежащей на оси $y$:
$a_1\sqrt{3} \cdot 0 + \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2}a_1^2 = a_2\sqrt{3} \cdot 0 + \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2}a_2^2$;
$\sqrt{3} — \sqrt{3}a_1^2 = \sqrt{3} — \sqrt{3}a_2^2$;
$a_1^2 = a_2^2$;
$a_1 = \pm a_2$;

Прямые пересекаются под углом $60^\circ$:
$\frac{k_1 — k_2}{1 + k_1 \cdot k_2} = \tan 60^\circ$;
$\frac{a_1\sqrt{3} — a_2\sqrt{3}}{1 + a_1\sqrt{3} \cdot a_2\sqrt{3}} = \sqrt{3}$;
$\frac{\sqrt{3}(a_1 — a_2)}{1 + 3a_1a_2} = \sqrt{3}$;
$\sqrt{3}(a_1 — a_2) = \sqrt{3}(1 + 3a_1a_2)$;
$a_1 — a_2 = 1 + 3a_1a_2$;

Подставим значение $a_2$:
$-a_2 — a_2 = 1 — a_2 \cdot 3a_2$;
$3a_2^2 — 2a_2 — 1 = 0$;
$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16$, тогда:
$a_{21} = \frac{2 — 4}{2 \cdot 3} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$ и $a_{22} = \frac{2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$;

Координаты точки пересечения оси $y$:
$y_1(0)=(-\frac{1}{3})\cdot \sqrt{3}\cdot 0+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot {(-\frac{1}{3})}^2=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{9}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot (1-\frac{1}{9})=$

$y_1(0) = \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot \sqrt{3} \cdot 0 + \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{9} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(1 — \frac{1}{9}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{8}{9} = \frac{8\sqrt{3}}{18} = \frac{4\sqrt{3}}{9}$;

${}_{}$$y_2(0) = 1 \cdot \sqrt{3} \cdot 0 + \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1^2 = \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$;

Ответ: $B_1\left(0; \frac{4\sqrt{3}}{9}\right); \; B_2(0; 0)$.

б) $f(x) = \frac{\sqrt{3}}{6}(1 — x^2)$;
Пусть $x = a$ — точка касания, тогда:
$f(a) = \frac{\sqrt{3}}{6}(1 — a^2) = \frac{\sqrt{3}}{6} — \frac{\sqrt{3}}{6}a^2$;
$f'(a) = \frac{\sqrt{3}}{6}((1)’ — (x^2)’) = \frac{\sqrt{3}}{6}(0 — 2x) = -\frac{2\sqrt{3}}{6}x = -\frac{\sqrt{3}}{3}a$;

Уравнение касательной:
$y = f(a) + f'(a)(x — a) = \frac{\sqrt{3}}{6} — \frac{\sqrt{3}}{6}a^2 — \frac{\sqrt{3}}{3}a \cdot (x — a)$;
$y = \frac{\sqrt{3} — \sqrt{3}a^2 — 2\sqrt{3}ax + 2\sqrt{3}a^2}{6} = \frac{\sqrt{3}a^2 — 2\sqrt{3}ax + \sqrt{3}}{6}$;
$k = -\frac{2\sqrt{3}a}{6} = -\frac{\sqrt{3}a}{3}$;

Прямые пересекаются в точке, лежащей на оси $y$:
$\frac{\sqrt{3}a_1^2 — 2\sqrt{3}a_1 \cdot 0 + \sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}a_2^2 — 2\sqrt{3}a_2 \cdot 0 + \sqrt{3}}{6}$;
$\sqrt{3}a_1^2 + \sqrt{3} = \sqrt{3}a_2^2 + \sqrt{3}$;
$a_1^2 = a_2^2$;
$a_1 = \pm a_2$;

Прямые пересекаются под углом $120^\circ$:
$\frac{k_1 — k_2}{1 + k_1 \cdot k_2} = \tan 120^\circ$;
$\frac{-\frac{\sqrt{3}a_1}{3} + \frac{\sqrt{3}a_2}{3}}{1 + \left(-\frac{\sqrt{3}a_1}{3}\right)\left(\frac{\sqrt{3}a_2}{3}\right)} = \tan(180^\circ — 60^\circ)$;
$\frac{\sqrt{3}(a_2 — a_1)}{3 \cdot \left(1 + \frac{a_1a_2}{3}\right)} = -\tan 60^\circ$;
$\frac{\sqrt{3}(a_2 — a_1)}{3 + a_1a_2} = -\sqrt{3}$;
$\sqrt{3}(a_2 — a_1) = -\sqrt{3}(3 + a_1a_2)$;
$a_1 — a_2 = 3 + a_1a_2$;

Подставим значение $a_2$:
$-a_2 — a_2 = 3 — a_2 \cdot a_2$;
$a_2^2 — 2a_2 — 3 = 0$;
$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16$, тогда:
$a_{21} = \frac{2 — 4}{2} = -1$ и $a_{22} = \frac{2 + 4}{2} = 3$;
$a_{11} = -1$ и $a_{12} = -3$;

Уравнения касательных:
$y_{11} = \frac{\sqrt{3} \cdot (-1)^2 — 2\sqrt{3}x \cdot (-1) + \sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3} + 2\sqrt{3}x}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}(1 + x)$;
$y_{21} = \frac{\sqrt{3} \cdot 1^2 — 2\sqrt{3}x \cdot 1 + \sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3} — 2\sqrt{3}x}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}(1 — x)$;
$y_{12} = \frac{\sqrt{3} \cdot (-3)^2 — 2\sqrt{3}x \cdot (-3) + \sqrt{3}}{6} = \frac{10\sqrt{3} + 6\sqrt{3}x}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}(5 + 3x)$;
$y_{22} = \frac{\sqrt{3} \cdot 3^2 — 2\sqrt{3}x \cdot 3 + \sqrt{3}}{6} = \frac{10\sqrt{3} — 6\sqrt{3}x}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}(5 — 3x)$;

Ответ: $$$y = \frac{\sqrt{3}}{3}(1 + x)$ и $y = \frac{\sqrt{3}}{3}(1 — x)$; $$$y = \frac{\sqrt{3}}{3}(5 + 3x)$ и $y = \frac{\sqrt{3}}{3}(5 — 3x)$.

а) $f(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}x^2 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, угол между касательными — $60^\circ$

Шаг 1: Найдём производную функции

$$f(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}x^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Продифференцируем:

$$f'(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2x + 0 = \sqrt{3}x$$

Шаг 2: Точка касания и касательная

Пусть $x = a$ — точка касания. Тогда:

• $f(a) = \frac{\sqrt{3}}{2}a^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $f'(a) = \sqrt{3}a$

Уравнение касательной:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}a^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \sqrt{3}a(x — a)$$

Раскроем скобки:

$$y = \frac{\sqrt{3}}{2}a^2 + \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}ax — \sqrt{3}a^2$$

Соберём подобные:

$$y = a\sqrt{3}x + \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2}a^2$$

Шаг 3: Коэффициент наклона касательной

$$k = \sqrt{3}a$$

Шаг 4: Точка пересечения на оси $y$

Пусть $x = 0$. Тогда:

$$y = 0 + \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2}a^2 = \frac{\sqrt{3}}{2}(1 — a^2)$$

Рассмотрим две касательные: в точках $x = a_1$ и $x = a_2$. Тогда:

$$\frac{\sqrt{3}}{2}(1 — a_1^2) = \frac{\sqrt{3}}{2}(1 — a_2^2) \Rightarrow a_1^2 = a_2^2 \Rightarrow a_1 = \pm a_2$$

Шаг 5: Угол между касательными — $60^\circ$

Формула угла между прямыми:

$$\tan \theta = \left| \frac{k_1 — k_2}{1 + k_1k_2} \right|$$

Т.к. $\theta = 60^\circ \Rightarrow \tan 60^\circ = \sqrt{3}$

Коэффициенты наклона:

$$k_1 = \sqrt{3}a_1, \quad k_2 = \sqrt{3}a_2$$

Подставим:

$$\left| \frac{\sqrt{3}(a_1 — a_2)}{1 + 3a_1a_2} \right| = \sqrt{3} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}(a_1 — a_2)}{1 + 3a_1a_2} = \sqrt{3}$$

Упростим:

$$a_1 — a_2 = 1 + 3a_1a_2$$

Шаг 6: Подстановка $a_1 = -a_2$

$$-a_2 — a_2 = 1 + 3(-a_2)(a_2) \Rightarrow -2a_2 = 1 — 3a_2^2 \Rightarrow 3a_2^2 — 2a_2 — 1 = 0$$

Решим уравнение:

$$D=4+12=16\Rightarrow a_2=\frac{2\pm 4}{6}\Rightarrow a_{21}=-\frac{1}{3},$$

$$D = 4 + 12 = 16 \Rightarrow a_2 = \frac{2 \pm 4}{6} \Rightarrow a_{21} = -\frac{1}{3},\quad a_{22} = 1 \Rightarrow a_1 = \mp 1,\quad \text{или} \; \frac{1}{3}$$

Шаг 7: Найдём $y$-координаты точек пересечения касательных

Для $a = -\frac{1}{3}$:

$$y(0) = \frac{\sqrt{3}}{2}(1 — \frac{1}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{8}{9} = \frac{4\sqrt{3}}{9}$$

Для $a = 1$:

$$y(0) = \frac{\sqrt{3}}{2}(1 — 1) = 0$$

Ответ (а):

$$\boxed{B_1\left(0;\ \frac{4\sqrt{3}}{9}\right), \quad B_2(0;\ 0)}$$

б) $f(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{6}(1 — x^2)$, угол между касательными — $120^\circ$

Шаг 1: Производная функции

$$f(x) = \frac{\sqrt{3}}{6}(1 — x^2) \Rightarrow f'(x) = \frac{\sqrt{3}}{6}(-2x) = -\frac{\sqrt{3}}{3}x$$

Шаг 2: Точка касания и касательная

Пусть $x = a$, тогда:

• $f(a) = \frac{\sqrt{3}}{6}(1 — a^2)$
• $f'(a) = -\frac{\sqrt{3}}{3}a$

Уравнение касательной:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a) = \frac{\sqrt{3}}{6}(1 — a^2) — \frac{\sqrt{3}}{3}a(x — a)$$

Раскроем скобки:

$$y = \frac{\sqrt{3}}{6} — \frac{\sqrt{3}}{6}a^2 — \frac{\sqrt{3}}{3}ax + \frac{\sqrt{3}}{3}a^2$$

Приводим к общему виду:

$$y = \frac{\sqrt{3}a^2 — 2\sqrt{3}ax + \sqrt{3}}{6}$$

Шаг 3: Коэффициент наклона

$$k = -\frac{2\sqrt{3}a}{6} = -\frac{\sqrt{3}a}{3}$$

Шаг 4: Условие пересечения касательных на оси $y$

Пусть $x = 0$. Тогда:

$$y = \frac{\sqrt{3}a^2 + \sqrt{3}}{6}$$

Две касательные пересекаются в одной точке:

$$\Rightarrow a_1^2 = a_2^2 \Rightarrow a_1 = \pm a_2$$

Шаг 5: Угол между касательными — $120^\circ$

$$\tan 120^\circ = -\tan 60^\circ = -\sqrt{3}$$

Коэффициенты:

$$k_1 = -\frac{\sqrt{3}a_1}{3},\quad k_2 = -\frac{\sqrt{3}a_2}{3}$$

Применим формулу:

$$\frac{k_1 — k_2}{1 + k_1k_2} = -\sqrt{3}$$

Подставим:

$$\frac{\sqrt{3}(a_2 — a_1)}{3 + a_1a_2} = -\sqrt{3} \Rightarrow a_1 — a_2 = 3 + a_1a_2$$

Шаг 6: Подстановка $a_1 = -a_2$

$$-2a_2 = 3 — a_2^2 \Rightarrow a_2^2 — 2a_2 — 3 = 0$$

Решаем:

$$D = 4 + 12 = 16 \Rightarrow a_2 = \frac{2 \pm 4}{2} \Rightarrow a_2 = -1,\ 3;\quad a_1 = 1,\ -3$$

Шаг 7: Уравнения касательных

Подставим в уравнение касательной:

Пара 1: $a = -1$ и $a = 1$

$$y = \frac{\sqrt{3}(1 — 2x + 1)}{6} = \frac{2\sqrt{3}(1 \pm x)}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}(1 \pm x)$$

Пара 2: $a = -3$ и $a = 3$

$$y = \frac{\sqrt{3}(9 — 6x + 1)}{6} = \frac{10\sqrt{3} \pm 6\sqrt{3}x}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}(5 \pm 3x)$$

Ответ (б):

$$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle y=\frac{\sqrt{3}}{3}(1+x),y=\frac{\sqrt{3}}{3}(1-x)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle y=\frac{\sqrt{3}}{3}(5+3x),y=\frac{\sqrt{3}}{3}(5-3x)}\end{array}}}$$