ГДЗ 10-11 Класс Номер 29.37 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) Найдите точку пересечения касательных к графику функции у = х² — |2х — 6|, проведённых через точки с абсциссами х = 5, х = -5.

б) Найдите точку пересечения касательных к графику функции у = х³ + |х — 1|, проведённых через точки с абсциссами х = 2, х = -2.

Найти точку пересечения касательных к графику функции $y = f(x)$, проведенных через точки с заданными абсциссами:

а) $f(x) = x^2 — |2x — 6|, \; x_1 = 5, \; x_2 = -5$;

Выражение под знаком модуля:
$2x — 6 \geq 0$;
$2x \geq 6$;
$x \geq 3$;

Если $x = 5$, тогда:
$f(x) = x^2 — (2x — 6) = x^2 — 2x + 6$;
$f'(x) = (x^2)’ + (-2x + 6)’ = 2x — 2$;
$f(5) = 5^2 — 2 \cdot 5 + 6 = 25 — 10 + 6 = 21$;
$f'(5) = 2 \cdot 5 — 2 = 10 — 2 = 8$;
$y = 21 + 8(x — 5) = 21 + 8x — 40 = 8x — 19$;

Если $x = -5$, тогда:
$f(x) = x^2 + (2x — 6) = x^2 + 2x — 6$;
$f'(x) = (x^2)’ + (2x — 6)’ = 2x + 2$;
$f(-5) = (-5)^2 + 2 \cdot (-5) — 6 = 25 — 10 — 6 = 9$;
$f'(-5) = 2 \cdot (-5) + 2 = -10 + 2 = -8$;
$y = 9 — 8(x — (-5)) = 9 — 8x — 40 = -8x — 31$;

Координаты точки пересечения:
$8x — 19 = -8x — 31$;
$16x = -12$;
$x = -\frac{12}{16} = -\frac{3}{4} = -0,75$;
$y = 8 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) — 19 = -6 — 19 = -25$;

Ответ: $(-0,75; -25)$.

б) $f(x) = x^3 + |x — 1|, \; x_1 = 2, \; x_2 = -2$;

Выражение под знаком модуля:
$x — 1 \geq 0$;
$x \geq 1$;

Если $x = 2$, тогда:
$f(x) = x^3 + (x — 1) = x^3 + x — 1$;
$f'(x) = (x^3)’ + (x — 1)’ = 3x^2 + 1$;
$f(2) = 2^3 + 2 — 1 = 8 + 1 = 9$;
$f'(2) = 3 \cdot 2^2 + 1 = 3 \cdot 4 + 1 = 12 + 1 = 13$;
$y = 9 + 13(x — 2) = 9 + 13x — 26 = 13x — 17$;

Если $x = -2$, тогда:
$f(x) = x^3 — (x — 1) = x^3 — x + 1$;
$f'(x) = (x^3)’ + (-x + 1)’ = 3x^2 — 1$;
$f(-2) = (-2)^3 — (-2) + 1 = -8 + 2 + 1 = -5$;
$f'(-2) = 3 \cdot (-2)^2 — 1 = 3 \cdot 4 — 1 = 12 — 1 = 11$;
$y = -5 + 11(x — (-2)) = -5 + 11x + 22 = 11x + 17$;

Координаты точки пересечения:
$13x — 17 = 11x + 17$;
$2x = 34$;
$x = \frac{34}{2} = 17$;
$y = 13 \cdot 17 — 17 = 221 — 17 = 204$;

Ответ: $(17; 204)$.

а) $f(x) = x^2 — |2x — 6|,\quad x_1 = 5,\quad x_2 = -5$

Шаг 1: Раскроем модуль в зависимости от знака

Рассмотрим выражение под модулем:

$$2x — 6$$

Разделим числовую прямую:

• Если $x \geq 3$, то $|2x — 6| = 2x — 6$
• Если $x < 3$, то $|2x — 6| = -(2x — 6) = -2x + 6$

Шаг 2: Найдём значение и производную в точке $x = 5$ (так как $5 \geq 3$)

$$f(x) = x^2 — (2x — 6) = x^2 — 2x + 6$$

Найдём производную:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 — 2x + 6) = 2x — 2$$

Подставим $x = 5$:

$$f(5) = 25 — 10 + 6 = 21 \\ f'(5) = 2 \cdot 5 — 2 = 10 — 2 = 8$$

Составим уравнение касательной в точке $x = 5$:

$$y = f(5) + f'(5)(x — 5) = 21 + 8(x — 5) = 21 + 8x — 40 = 8x — 19$$

Шаг 3: Найдём значение и производную в точке $x = -5$ (так как $-5 < 3$)

$$f(x) = x^2 — |2x — 6| = x^2 — (-(2x — 6)) = x^2 + 2x — 6$$

Найдём производную:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 2x — 6) = 2x + 2$$

Подставим $x = -5$:

$$f(-5) = 25 — 10 — 6 = 9 \\ f'(-5) = 2 \cdot (-5) + 2 = -10 + 2 = -8$$

Составим уравнение касательной в точке $x = -5$:

$$y = f(-5) + f'(-5)(x + 5) = 9 — 8(x + 5) = 9 — 8x — 40 = -8x — 31$$

Шаг 4: Найдём точку пересечения двух касательных

Уравнения касательных:

• $y = 8x — 19$
• $y = -8x — 31$

Приравняем правые части:

$$8x — 19 = -8x — 31 \Rightarrow 16x = -12 \Rightarrow x = -\frac{3}{4}$$

Найдём $y$:

$$y = 8 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) — 19 = -6 — 19 = -25$$

Ответ а):

$$\boxed{(-0.75;\ -25)}$$

б) $f(x) = x^3 + |x — 1|,\quad x_1 = 2,\quad x_2 = -2$

Шаг 1: Раскроем модуль в зависимости от знака

Рассмотрим:

$$|x — 1| = \begin{cases} x — 1, & \text{если } x \geq 1 \\ -(x — 1) = -x + 1, & \text{если } x < 1 \end{cases}$$

Шаг 2: Для $x = 2$ (так как $2 \geq 1$)

$$f(x) = x^3 + (x — 1) = x^3 + x — 1 \\ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + x — 1) = 3x^2 + 1$$

Подставим $x = 2$:

$$f(2) = 8 + 2 — 1 = 9 \\ f'(2) = 3 \cdot 4 + 1 = 13$$

Касательная:

$$y = 9 + 13(x — 2) = 9 + 13x — 26 = 13x — 17$$

Шаг 3: Для $x = -2$ (так как $-2 < 1$)

$$f(x) = x^3 + (-(x — 1)) = x^3 — x + 1 \\ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 — x + 1) = 3x^2 — 1$$

Подставим $x = -2$:

$$f(-2) = -8 + 2 + 1 = -5 \\ f'(-2) = 3 \cdot 4 — 1 = 12 — 1 = 11$$

Касательная:

$$y = -5 + 11(x + 2) = -5 + 11x + 22 = 11x + 17$$

Шаг 4: Найдём точку пересечения касательных

Уравнения касательных:

• $y = 13x — 17$
• $y = 11x + 17$

Приравниваем:

$$13x — 17 = 11x + 17 \Rightarrow 2x = 34 \Rightarrow x = 17$$

Найдём $y$:

$$y = 13 \cdot 17 — 17 = 221 — 17 = 204$$

Ответ б):

$$\boxed{{\displaystyle (17;204)}}$$