ГДЗ 10-11 Класс Номер 29.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Чему равен угловой коэффициент касательной к параболе у = 1 — х² в точке:

а) $A(0; 1)$;

б) $B(2; -3)$;

${}^{}$в) $C\left(\frac{1}{2}; \frac{3}{4}\right)$;

г) $D(-1; 0)$

Выяснить, чему равен угловой коэффициент касательной к параболе $y = 1 — x^2$ в точке:

а) $A(0; 1)$;
$y'(x) = (1)’ — (x^2)’ = 0 — 2x = -2x$;
$k = y'(0) = -2 \cdot 0 = 0$;
Ответ: 0.

б) $B(2; -3)$;
$y'(x) = (1)’ — (x^2)’ = 0 — 2x = -2x$;
$k = y'(2) = -2 \cdot 2 = -4$;
Ответ: -4.

в) $C\left(\frac{1}{2}; \frac{3}{4}\right)$;
$y'(x) = (1)’ — (x^2)’ = 0 — 2x = -2x$;
$k = y’\left(\frac{1}{2}\right) = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1$;
Ответ: -1.

г) $D(-1; 0)$;
$y'(x) = (1)’ — (x^2)’ = 0 — 2x = -2x$;
$k = y'(-1) = -2 \cdot (-1) = 2$;
Ответ: 2.

Теоретическая справка

Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$ равен значению производной функции в этой точке:

$$k = f'(a)$$

Производная показывает наклон касательной к графику функции:

• Если $k > 0$, касательная поднимается слева направо.
• Если $k < 0$, касательная убывает слева направо.
• Если $k = 0$, касательная горизонтальна.

Функция:

$$y = 1 — x^2$$

Найдем её производную:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(1 — x^2) = (1)’ — (x^2)’ = 0 — 2x = -2x$$

Теперь подставим значения $x$ из каждой точки.

а) Точка $A(0; 1)$

Шаг 1: Абсцисса точки

$$x = 0$$

Шаг 2: Подставим в производную

$$y'(0) = -2 \cdot 0 = 0$$

Шаг 3: Ответ

$$k = 0 \Rightarrow \text{касательная горизонтальна}$$

Ответ: 0

б) Точка $B(2; -3)$

Шаг 1: Абсцисса точки

$$x = 2$$

Шаг 2: Подставим в производную

$$y'(2) = -2 \cdot 2 = -4$$

Шаг 3: Ответ

$$k = -4 \Rightarrow \text{касательная убывает, крутой наклон вниз}$$

Ответ: -4

в) Точка $C\left( \frac{1}{2}; \frac{3}{4} \right)$

Шаг 1: Абсцисса точки

$$x = \frac{1}{2}$$

Шаг 2: Подставим в производную

$$y’\left( \frac{1}{2} \right) = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1$$

Шаг 3: Ответ

$$k = -1 \Rightarrow \text{касательная убывает}$$

Ответ: -1

г) Точка $D(-1; 0)$

Шаг 1: Абсцисса точки

$$x = -1$$

Шаг 2: Подставим в производную

$$y'(-1) = -2 \cdot (-1) = 2$$

Шаг 3: Ответ

$$k = 2 \Rightarrow \text{касательная возрастает}$$

Ответ: 2