ГДЗ 10-11 Класс Номер 29.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$, если:

а) $f(x) = x^3 — 2x^2 + 3$, $a = -1$;
$f'(x) = (x^3)’ — 2(x^2)’ + (3)’ = 3x^2 — 2 \cdot 2x + 0 = 3x^2 — 4x$;
$k = f'(-1) = 3 \cdot (-1)^2 — 4 \cdot (-1) = 3 + 4 = 7$;
Ответ: 7.

б) $f(x) = \sqrt{4 — 5x}$, $a = 0$;
$f'(x) = -5 \cdot \frac{1}{2\sqrt{4 — 5x}}$;
$k = f'(0) = \frac{-5}{2\sqrt{4 — 5 \cdot 0}} = \frac{-5}{2\sqrt{4}} = -\frac{5}{2 \cdot 2} = -\frac{5}{4} = -1,25$;
Ответ: -1,25.

в) $f(x) = x^4 — 7x^3 + 12x — 45$, $a = 0$;
$f'(x) = (x^4)’ — 7(x^3)’ + (12x — 45)’ = 4x^3 — 7 \cdot 3x^2 + 12$;
$k = f'(0) = 4 \cdot 0^2 — 7 \cdot 3 \cdot 0^2 + 12 = 12$;
Ответ: 12.

г) $f(x) = \sqrt{10 + x}$, $a = -5$;
$f'(x) = 1 \cdot \frac{1}{2\sqrt{10 + x}}$;
$k = f'(-5) = \frac{1}{2\sqrt{10 — 5}} = \frac{1}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{\sqrt{5}}{10}$;
Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{10}$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$ равен значению производной в этой точке:

$$k = f'(a)$$

а) $f(x) = x^3 — 2x^2 + 3$, $a = -1$

Шаг 1: Найдём производную

Применим правила:

• $(x^3)’ = 3x^2$
• $(x^2)’ = 2x$
• $(3)’ = 0$

Итак:

$$f'(x) = (x^3)’ — 2(x^2)’ + (3)’ = 3x^2 — 2 \cdot 2x + 0 = 3x^2 — 4x$$

Шаг 2: Подставим $x = -1$

$$f'(-1) = 3 \cdot (-1)^2 — 4 \cdot (-1) = 3 \cdot 1 + 4 = 3 + 4 = 7$$

Ответ: 7

б) $f(x) = \sqrt{4 — 5x}$, $a = 0$

Шаг 1: Найдём производную

Это составная функция:

$$f(x) = \sqrt{4 — 5x} = (4 — 5x)^{1/2}$$

Используем формулу:

$$\frac{d}{dx} \left( (u(x))^{1/2} \right) = \frac{1}{2\sqrt{u(x)}} \cdot u'(x)$$

Где:

• $u(x) = 4 — 5x$, тогда $u'(x) = -5$

Значит:

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{4 — 5x}} \cdot (-5) = -\frac{5}{2\sqrt{4 — 5x}}$$

Шаг 2: Подставим $x = 0$

$$f'(0) = -\frac{5}{2\sqrt{4 — 0}} = -\frac{5}{2\sqrt{4}} = -\frac{5}{2 \cdot 2} = -\frac{5}{4} = -1{,}25$$

Ответ: -1,25

в) $f(x) = x^4 — 7x^3 + 12x — 45$, $a = 0$

Шаг 1: Найдём производную

По правилам:

• $(x^4)’ = 4x^3$
• $(x^3)’ = 3x^2$
• $(12x)’ = 12$
• $(-45)’ = 0$

$$f'(x) = 4x^3 — 7 \cdot 3x^2 + 12 = 4x^3 — 21x^2 + 12$$

Шаг 2: Подставим $x = 0$

$$f'(0) = 4 \cdot 0^3 — 21 \cdot 0^2 + 12 = 0 — 0 + 12 = 12$$

Ответ: 12

г) $f(x) = \sqrt{10 + x}$, $a = -5$

Шаг 1: Найдём производную

$$f(x) = \sqrt{10 + x} = (10 + x)^{1/2}$$

Снова используем:

$$\frac{d}{dx} \left( (u(x))^{1/2} \right) = \frac{1}{2\sqrt{u(x)}} \cdot u'(x)$$

Где:

• $u(x) = 10 + x$, значит $u'(x) = 1$

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{10 + x}} \cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{10 + x}}$$

Шаг 2: Подставим $x = -5$

$$f'(-5) = \frac{1}{2\sqrt{10 + (-5)}} = \frac{1}{2\sqrt{5}}$$

Можно рационализировать:

$$\frac{1}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{\sqrt{5}}{10}$$

Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{10}$