ГДЗ 10-11 Класс Номер 29.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$, если:

а) $f(x) = \sin x, \; a = 0$;
$f'(x) = (\sin x)’ = \cos x$;
$k = f'(0) = \cos 0 = 1$;
Ответ: 1.

б) $f(x) = tg\, 2x, \; a = \frac{\pi}{8}$;
$f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{\cos^2 2x}$;
$k = f’\left( \frac{\pi}{8} \right) = \frac{2}{\cos^2 \frac{2\pi}{8}} = \frac{2}{\cos^2 \frac{\pi}{4}} = 2 : \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = 2 : \frac{1}{2} = 4$;
Ответ: 4.

в) $f(x) = \cos 3x, \; a = \frac{\pi}{2}$;
$f'(x) = 3 \cdot (-\sin 3x) = -3 \sin 3x$;
$k = f’\left( \frac{\pi}{2} \right) = -3 \sin \frac{3\pi}{2} = -3 \cdot (-1) = 3$;
Ответ: 3.

г) $f(x) = \sin x, \; a = \frac{\pi}{3}$;
$f'(x) = (\sin x)’ = \cos x$;
$k = f’\left( \frac{\pi}{3} \right) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} = 0,5$;
Ответ: 0,5.

Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$ равен значению производной функции в этой точке:

$$k = f'(a)$$

а) $f(x) = \sin x$, $a = 0$

Шаг 1: Найдём производную

$$f(x) = \sin x \Rightarrow f'(x) = \cos x$$

Шаг 2: Подставим $x = 0$

$$f'(0) = \cos(0) = 1$$

Ответ: 1

б) $f(x) = \tan 2x$, $a = \dfrac{\pi}{8}$

Шаг 1: Найдём производную

Функция — сложная: $f(x) = \tan(u(x))$, где $u(x) = 2x$

Производная:

$$f'(x) = \frac{d}{dx} [\tan(2x)] = \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot (2x)’ = \frac{2}{\cos^2(2x)}$$

Шаг 2: Подставим $x = \dfrac{\pi}{8}$

$$f’\left( \frac{\pi}{8} \right) = \frac{2}{\cos^2\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right)} = \frac{2}{\cos^2\left( \frac{\pi}{4} \right)}$$

Значение:

$$\cos\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \cos^2\left( \frac{\pi}{4} \right) = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1}{2}$$ $$f’\left( \frac{\pi}{8} \right) = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$$

Ответ: 4

в) $f(x) = \cos 3x$, $a = \dfrac{\pi}{2}$

Шаг 1: Найдём производную

Сложная функция: $f(x) = \cos(u(x))$, где $u(x) = 3x$

По правилу производной:

$$f'(x) = \frac{d}{dx} [\cos(3x)] = -\sin(3x) \cdot (3x)’ = -\sin(3x) \cdot 3 = -3\sin(3x)$$

Шаг 2: Подставим $x = \dfrac{\pi}{2}$

$$f’\left( \frac{\pi}{2} \right) = -3 \cdot \sin\left(3 \cdot \frac{\pi}{2} \right) = -3 \cdot \sin\left( \frac{3\pi}{2} \right)$$ $$\sin\left( \frac{3\pi}{2} \right) = -1 \Rightarrow f’\left( \frac{\pi}{2} \right) = -3 \cdot (-1) = 3$$

Ответ: 3

г) $f(x) = \sin x$, $a = \dfrac{\pi}{3}$

Шаг 1: Найдём производную

$$f(x) = \sin x \Rightarrow f'(x) = \cos x$$

Шаг 2: Подставим $x = \dfrac{\pi}{3}$

$$f’\left( \frac{\pi}{3} \right) = \cos\left( \frac{\pi}{3} \right)$$

Значение:

$$\cos\left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2}$$

Ответ: $\frac{1}{2}=\mathrm{0,5}$