ГДЗ 10-11 Класс Номер 29.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Определить, какой угол образует с осью x касательная, проведенная к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$, если:

а) $f(x) = x^2$, $a = 0,5$;
$f'(x) = (x^2)’ = 2x$;
$tg\,a = f'(0,5) = 2 \cdot 0,5 = 1$;
$a = arctg\,1 = 45^\circ$;
Ответ: $45^\circ$.

б) $f(x) = -3x^3$, $a = \frac{1}{3}$;
$f'(x) = -3(x^3)’ = -3 \cdot 3x^2 = -9x^2$;
$tg\,a = f’\left(\frac{1}{3}\right) = -9 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 = -9 \cdot \frac{1}{9} = -1$;
$a = 180^\circ — arctg\,1 = 180^\circ — 45^\circ = 135^\circ$;
Ответ: $135^\circ$.

в) $f(x) = 0,2x^5$, $a = -1$;
$f'(x) = 0,2(x^5)’ = 0,2 \cdot 5x^4 = x^4$;
$tg\,a = f'(-1) = (-1)^4 = 1$;
$a = arctg\,1 = 45^\circ$;
Ответ: $45^\circ$.

г) $f(x) = -0,25x^4$, $a = 0$;
$f'(x) = -0,25(x^4)’ = -0,25 \cdot 4x^3 = -x^3$;
$tg\,a = f'(0) = -0^3 = 0$;
$a = arctg\,0 = 0^\circ$;
Ответ: $0^\circ$.

Касательная к графику функции $y = f(x)$, проведённая в точке с абсциссой $x = a$, образует с положительным направлением оси $x$ угол $\alpha$, для которого:

$$tg\,\alpha = f'(a)$$

Тогда:

• Если $f'(a) > 0$, то $\alpha = arctg(f'(a))$
• Если $f'(a) < 0$, то $\alpha = 180^\circ — arctg(|f'(a)|)$
• Если $f'(a) = 0$, то $\alpha = 0^\circ$

а) $f(x) = x^2$, $a = 0{,}5$

Шаг 1: Производная

$$f'(x) = (x^2)’ = 2x$$

Шаг 2: Вычисляем производную в точке

$$f'(0{,}5) = 2 \cdot 0{,}5 = 1$$

Шаг 3: Определяем угол

$$tg\,\alpha = 1 \Rightarrow \alpha = arctg\,1 = 45^\circ$$

Ответ: $45^\circ$

б) $f(x) = -3x^3$, $a = \dfrac{1}{3}$

Шаг 1: Производная

$$f'(x) = (-3x^3)’ = -3 \cdot 3x^2 = -9x^2$$

Шаг 2: Вычисляем значение

$$f’\left( \frac{1}{3} \right) = -9 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^2 = -9 \cdot \frac{1}{9} = -1$$

Шаг 3: Определяем угол

$$tg\,\alpha = -1 \Rightarrow \alpha = 180^\circ — arctg\,1 = 180^\circ — 45^\circ = 135^\circ$$

Ответ: $135^\circ$

в) $f(x) = 0{,}2x^5$, $a = -1$

Шаг 1: Производная

$$f'(x) = (0{,}2x^5)’ = 0{,}2 \cdot 5x^4 = x^4$$

Потому что $0{,}2 \cdot 5 = 1$

Шаг 2: Вычисление

$$f'(-1) = (-1)^4 = 1$$

Шаг 3: Определяем угол

$$tg\,\alpha = 1 \Rightarrow \alpha = arctg\,1 = 45^\circ$$

Ответ: $45^\circ$

г) $f(x) = -0{,}25x^4$, $a = 0$

Шаг 1: Производная

$$f'(x) = (-0{,}25x^4)’ = -0{,}25 \cdot 4x^3 = -x^3$$

Потому что $-0{,}25 \cdot 4 = -1$

Шаг 2: Вычисление

$$f'(0) = -0^3 = 0$$

Шаг 3: Определяем угол

$$tg\,\alpha = 0 \Rightarrow \alpha = arctg\,0 = 0^\circ$$

Ответ: $0^{\circ }$