ГДЗ 10-11 Класс Номер 29.8 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Определить, какой угол образует с осью x касательная, проведенная к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсцессой $x = a$, если:

а) $f(x) = x^3 — 3x^2 + 2x — 7$, $a = 1$;
$f'(x) = (x^3)’ — 3(x^2)’ + (2x — 7)’ = 3x^2 — 6x + 2$;
$tg\,a = f'(1) = 3 \cdot 1^2 — 6 \cdot 1 + 2 = 3 — 6 + 2 = -1$;
$a = 180^\circ — arctg\,1 = 180^\circ — 45^\circ = 135^\circ$;
Ответ: $135^\circ$.

б) $f(x) = -7x^3 + 10x^2 + x — 12$, $a = 0$;
$f'(x) = -7(x^3)’ + 10(x^2)’ + (x — 12)’ = -7 \cdot 3x^2 + 10 \cdot 2x + 1$;
$tg\,a = f'(0) = -7 \cdot 3 \cdot 0^2 + 10 \cdot 2 \cdot 0 + 1 = 1$;
$a = arctg\,1 = 45^\circ$;
Ответ: $45^\circ$.

Касательная к графику функции $y = f(x)$, проведённая в точке с абсциссой $x = a$, образует с осью $Ox$ угол $\alpha$, который определяется по значению производной:

$$tg\,\alpha = f'(a)$$

Тогда:

• Если $f'(a) > 0$, то $\alpha = \arctg(f'(a))$
• Если $f'(a) < 0$, то $\alpha = 180^\circ — \arctg(|f'(a)|)$
• Если $f'(a) = 0$, то $\alpha = 0^\circ$

а) $f(x) = x^3 — 3x^2 + 2x — 7$, $a = 1$

Шаг 1: Найдём производную

Продифференцируем каждый член:

• $(x^3)’ = 3x^2$
• $(x^2)’ = 2x$, значит $-3(x^2)’ = -6x$
• $(2x)’ = 2$, $(-7)’ = 0$

Итак:

$$f'(x) = 3x^2 — 6x + 2$$

Шаг 2: Найдём значение производной при $x = 1$

$$f'(1) = 3 \cdot 1^2 — 6 \cdot 1 + 2 = 3 — 6 + 2 = -1$$

Шаг 3: Определим угол

$$tg\,\alpha = -1 \Rightarrow \alpha = 180^\circ — arctg\,1 = 180^\circ — 45^\circ = 135^\circ$$

Ответ: $135^\circ$

б) $f(x) = -7x^3 + 10x^2 + x — 12$, $a = 0$

Шаг 1: Найдём производную

Продифференцируем по частям:

• $(-7x^3)’ = -7 \cdot 3x^2 = -21x^2$
• $(10x^2)’ = 10 \cdot 2x = 20x$
• $(x)’ = 1$
• $(-12)’ = 0$

Итак:

$$f'(x) = -21x^2 + 20x + 1$$

Шаг 2: Найдём значение производной при $x = 0$

$$f'(0) = -21 \cdot 0^2 + 20 \cdot 0 + 1 = 0 + 0 + 1 = 1$$

Шаг 3: Определим угол

$$tg\,\alpha = 1 \Rightarrow \alpha = arctg\,1 = 45^\circ$$

Ответ: ${45}^{\circ }$