ГДЗ 10-11 Класс Номер 29.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Определить, какой угол образует с осью x касательная, проведенная к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$, если:

a) $f(x) = \frac{2x — 1}{3 — 2x}$, $a = \frac{1}{2}$;
$f'(x) = \frac{(2x — 1)’ \cdot (3 — 2x) — (2x — 1) \cdot (3 — 2x)’}{(3 — 2x)^2}$;
$f'(x) = \frac{2 \cdot (3 — 2x) — (2x — 1) \cdot (-2)}{(3 — 2x)^2} = \frac{6 — 4x + 4x — 2}{(3 — 2x)^2} = \frac{4}{(3 — 2x)^2}$;
$tg\, a = f’\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{4}{\left(3 — 2 \cdot \frac{1}{2}\right)^2} = \frac{4}{(3 — 1)^2} = \frac{4}{2^2} = \frac{4}{4} = 1$;
$a = \arctg\, 1 = 45^\circ$;
Ответ: $45^\circ$.

б) $f(x) = \frac{x — 1}{x — 2}$, $a = 1$;
$f'(x) = \frac{(x — 1)’ \cdot (x — 2) — (x — 1) \cdot (x — 2)’}{(x — 2)^2}$;
$f'(x) = \frac{1 \cdot (x — 2) — (x — 1) \cdot 1}{(x — 2)^2} = \frac{x — 2 — x + 1}{(x — 2)^2} = -\frac{1}{(x — 2)^2}$;
$tg\, a = f'(1) = -\frac{1}{(1 — 2)^2} = -\frac{1}{(-1)^2} = -\frac{1}{1} = -1$;
$a = 180^\circ — \arctg\, 1 = 180^\circ — 45^\circ = 135^\circ$;
Ответ: $135^\circ$.

Если функция $y = f(x)$ дифференцируема в точке $x = a$, то касательная к графику в этой точке имеет угловой коэффициент:

$$k = f'(a)$$

Угол $\alpha$ между касательной и положительным направлением оси $x$ выражается через:

$$tg\,\alpha = f'(a)$$

Тогда:

• Если $f'(a) > 0$, то $\alpha = \arctg(f'(a))$
• Если $f'(a) < 0$, то $\alpha = 180^\circ — \arctg(|f'(a)|)$
• Если $f'(a) = 0$, то $\alpha = 0^\circ$

а) $f(x) = \dfrac{2x — 1}{3 — 2x}$, $a = \dfrac{1}{2}$

Шаг 1: Это дробно-рациональная функция. Применим правило производной частного:

$$\left( \frac{u(x)}{v(x)} \right)’ = \frac{u'(x)v(x) — u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$$

где:

• $u(x) = 2x — 1 \Rightarrow u'(x) = 2$
• $v(x) = 3 — 2x \Rightarrow v'(x) = -2$

$$f'(x) = \frac{2 \cdot (3 — 2x) — (2x — 1) \cdot (-2)}{(3 — 2x)^2}$$

Шаг 2: Раскроем скобки в числителе

$$= \frac{6 — 4x + 4x — 2}{(3 — 2x)^2} = \frac{4}{(3 — 2x)^2}$$

Шаг 3: Подставим $x = \dfrac{1}{2}$

В знаменателе:

$$3 — 2 \cdot \frac{1}{2} = 3 — 1 = 2$$ $$f’\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{4}{2^2} = \frac{4}{4} = 1$$

Шаг 4: Найдём угол

$$tg\,\alpha = 1 \Rightarrow \alpha = \arctg\,1 = 45^\circ$$

Ответ: $45^\circ$

б) $f(x) = \dfrac{x — 1}{x — 2}$, $a = 1$

Шаг 1: Снова применим производную частного

• $u(x) = x — 1 \Rightarrow u'(x) = 1$
• $v(x) = x — 2 \Rightarrow v'(x) = 1$

$$f'(x) = \frac{1 \cdot (x — 2) — (x — 1) \cdot 1}{(x — 2)^2}$$

Шаг 2: Упростим числитель

$$= \frac{x — 2 — x + 1}{(x — 2)^2} = \frac{-1}{(x — 2)^2}$$

Шаг 3: Подставим $x = 1$

$$x — 2 = -1 \Rightarrow (x — 2)^2 = 1$$ $$f'(1) = \frac{-1}{1} = -1$$

Шаг 4: Найдём угол

$$tg\,\alpha = -1 \Rightarrow \alpha = 180^\circ — \arctg\,1 = 180^\circ — 45^\circ = 135^\circ$$

Ответ: ${135}^{\circ }$