ГДЗ 10-11 Класс Номер 30.1 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Определите, какой знак имеет производная функции у = f(x) в точках с абсциссами a, b, с, d, если график функции изображён на рисунках:

а) рис. 47;

б) рис. 48.

Определить, какой знак имеет производная функции $y=f(x)$ в точках с абсциссами $a,b,c,d$, если график функции изображен:

а) На рисунке 47;
Функция возрастает в точках $a,b$ и $d$, значит:
$f^{\mathrm{\prime }}(a)>0;f^{\mathrm{\prime }}(b)>0;f^{\mathrm{\prime }}(d)>0;$
Функция убывает в точке $c$, значит:
$f^{\mathrm{\prime }}(c)<0;$

б) На рисунке 48;
Функция возрастает в точках $a$ и $d$, значит:
$f^{\mathrm{\prime }}(a)>0;f^{\mathrm{\prime }}(d)>0;$
График функции имеет вершину в точке $b$, значит:
$f^{\mathrm{\prime }}(b)=0;$
График функции имеет излом в точке $c$, значит:
$f^{\mathrm{\prime }}(c)$ — не существует

Перед разбором самих пунктов напомним:

• Производная $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ показывает угловой коэффициент касательной к графику функции в данной точке.
• Если функция возрастает в точке, значит:$$f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$$
• Если функция убывает в точке, значит:$$f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$$
• Если в точке локальный экстремум (максимум или минимум), то:$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$$

  (если производная существует)

• Если в точке излом (график «ломается» — резкое изменение направления), то:$$f^{\mathrm{\prime }}(x)\text{ не существует}$$

а) На рисунке 47

Положение точек:

• Точка $a$ — на участке, где функция возрастает.
• Точка $b$ — также на участке возрастания.
• Точка $c$ — находится на участке убывания.
• Точка $d$ — снова на участке возрастания.

Анализ по каждой точке:

Точка $a$:

Функция возрастает → касательная имеет положительный наклон →

$$\boxed{{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(a)>0}}$$

Точка $b$:

Функция также возрастает →

$$\boxed{{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(b)>0}}$$

Точка $c$:

Функция убывает → касательная направлена вниз →

$$\boxed{{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(c)<0}}$$

Точка $d$:

Функция снова возрастает →

$$\boxed{{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(d)>0}}$$

Вывод по пункту а):

$$f^{\mathrm{\prime }}(a)>0;f^{\mathrm{\prime }}(b)>0;f^{\mathrm{\prime }}(c)<0;f^{\mathrm{\prime }}(d)>0$$

б) На рисунке 48

Положение точек:

• $a$ — функция возрастает.
• $b$ — вершина графика (экстремум).
• $c$ — точка излома графика (резкий переход).
• $d$ — функция возрастает.

Анализ по каждой точке:

Точка $a$:

Функция возрастает →

$$\boxed{{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(a)>0}}$$

Точка $b$:

График имеет вершину (горизонтальная касательная, касательная «параллельна оси $x$«) →

$$\boxed{{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(b)=0}}$$

Точка $c$:

Излом (в графике происходит резкий угол, касательная «меняется скачком») →
Производная не существует →

$$\boxed{{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(c)\text{ не существует}}}$$

Точка $d$:

Функция возрастает →

$$\boxed{{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(d)>0}}$$

Вывод по пункту б):

$$f^{\mathrm{\prime }}(a)>0;f^{\mathrm{\prime }}(b)=0;f^{\mathrm{\prime }}(c)\text{ не существует};f^{\mathrm{\prime }}(d)>0$$