ГДЗ 10-11 Класс Номер 30.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Определить промежутки монотонности функции:

а) $y = x^2 — 5x + 4$;
Производная функции:
$y'(x) = (x^2)’ + (-5x + 4)’ = 2x — 5$;
Промежуток возрастания:
$2x — 5 \geq 0$;
$2x \geq 5$;
$x \geq 2{,}5$;
Ответ: возрастает на $[2{,}5; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; 2{,}5]$.

б) $y = 5x^2 + 15x — 1$;
Производная функции:
$y'(x) = 5(x^2)’ + (15x — 1)’ = 5 \cdot 2x + 15 = 10x + 15$;
Промежуток возрастания:
$10x + 15 \geq 0$;
$10x \geq -15$;
$x \geq -1{,}5$;
Ответ: возрастает на $[-1{,}5; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; -1{,}5]$.

в) $y = -x^2 + 8x — 7$;
Производная функции:
$y'(x) = -(x^2)’ + (8x — 7)’ = -2x + 8$;
Промежуток возрастания:
$-2x + 8 \geq 0$;
$2x \leq 8$;
$x \leq 4$;
Ответ: возрастает на $(-\infty; 4]$ и убывает на $[4; +\infty)$.

г) $y = x^2 — x$;
Производная функции:
$y'(x) = (x^2)’ — (x)’ = 2x — 1$;
Промежуток возрастания:
$2x — 1 \geq 0$;
$2x \geq 1$;
$x \geq 0{,}5$;
Ответ: возрастает на $[0{,}5; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; 0{,}5]$.

Функция $y = f(x)$ на промежутке:

• возрастает, если её производная $f'(x) > 0$,
• убывает, если $f'(x) < 0$,
• имеет экстремум (точку перехода убывания/возрастания), если $f'(x) = 0$.

Чтобы найти промежутки монотонности, нужно:

1. Найти производную $f'(x)$,
2. Найти нулевые точки производной $f'(x) = 0$ — они делят область определения на промежутки,
3. На каждом промежутке проверить знак производной,
4. Указать промежутки возрастания и убывания.

а) $y = x^2 — 5x + 4$

Шаг 1. Найдём производную функции:

$$y'(x) = (x^2)’ + (-5x)’ + (4)’ = 2x — 5$$

Шаг 2. Найдём нули производной:

Решим уравнение:

$$2x — 5 = 0 \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x = 2{,}5$$

Это — точка, где производная меняет знак.

Шаг 3. Проверим знак производной на промежутках:

• Для $x < 2{,}5$, например $x = 0$:
  $y'(0) = 2 \cdot 0 — 5 = -5 < 0 \Rightarrow$ функция убывает.
• Для $x > 2{,}5$, например $x = 3$:
  $y'(3) = 2 \cdot 3 — 5 = 6 — 5 = 1 > 0 \Rightarrow$ функция возрастает.

Ответ:

• Функция убывает на $(-\infty; 2{,}5]$,
• Функция возрастает на $[2{,}5; +\infty)$.

б) $y = 5x^2 + 15x — 1$

Шаг 1. Найдём производную:

$$y'(x) = (5x^2)’ + (15x)’ + (-1)’ = 10x + 15$$

Шаг 2. Найдём нули производной:

$$10x + 15 = 0 \Rightarrow 10x = -15 \Rightarrow x = -1{,}5$$

Шаг 3. Проверим знак производной:

• Для $x < -1{,}5$, например $x = -2$:
  $y'(-2) = 10 \cdot (-2) + 15 = -20 + 15 = -5 < 0 \Rightarrow$ убывает.
• Для $x > -1{,}5$, например $x = 0$:
  $y'(0) = 10 \cdot 0 + 15 = 15 > 0 \Rightarrow$ возрастает.

Ответ:

• Функция убывает на $(-\infty; -1{,}5]$,
• Функция возрастает на $[-1{,}5; +\infty)$.

в) $y = -x^2 + 8x — 7$

Шаг 1. Найдём производную:

$$y'(x) = (-x^2)’ + (8x)’ + (-7)’ = -2x + 8$$

Шаг 2. Найдём нули производной:

$$-2x + 8 = 0 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4$$

Шаг 3. Проверим знак производной:

• Для $x < 4$, например $x = 2$:
  $y'(2) = -2 \cdot 2 + 8 = -4 + 8 = 4 > 0 \Rightarrow$ возрастает.
• Для $x > 4$, например $x = 5$:
  $y'(5) = -2 \cdot 5 + 8 = -10 + 8 = -2 < 0 \Rightarrow$ убывает.

Ответ:

• Функция возрастает на $(-\infty; 4]$,
• Функция убывает на $[4; +\infty)$.

г) $y = x^2 — x$

Шаг 1. Найдём производную:

$$y'(x) = (x^2)’ — (x)’ = 2x — 1$$

Шаг 2. Найдём нули производной:

$$2x — 1 = 0 \Rightarrow x = 0{,}5$$

Шаг 3. Проверим знак производной:

• Для $x < 0{,}5$, например $x = 0$:
  $y'(0) = 2 \cdot 0 — 1 = -1 < 0 \Rightarrow$ убывает.
• Для $x > 0{,}5$, например $x = 1$:
  $y'(1) = 2 \cdot 1 — 1 = 1 > 0 \Rightarrow$ возрастает.

Ответ:

• Функция убывает на $(-\infty; 0{,}5]$,
• Функция возрастает на $[0{,}5; +\infty)$.