ГДЗ 10-11 Класс Номер 30.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Определить промежутки монотонности функции:

а) $y = x^3 + 2x$;
Производная функции:
$y'(x) = (x^3)’ + (2x)’ = 3x^2 + 2$;
Промежуток возрастания:
$3x^2 + 2 \geq 0$;
$3x^2 \geq -2$;
$x^2 \geq -\frac{2}{3}$;
$x \in \mathbb{R}$;
Ответ: возрастает на $(-\infty; +\infty)$.

б) $y = 60 + 45x — 3x^2 — x^3$;
Производная функции:
$y'(x) = (60 + 45x)’ — 3(x^2)’ — (x^3)’$;
$y'(x) = 45 — 3 \cdot 2x — 3x^2 = 45 — 6x — 3x^2$;
Промежуток возрастания:
$45 — 6x — 3x^2 \geq 0 \mid : (-3)$;
$x^2 + 2x — 15 \leq 0$;
$D = 2^2 + 4 \cdot 15 = 4 + 60 = 64$, тогда:
$x_1 = \frac{-2 — 8}{2} = -5$ и $x_2 = \frac{-2 + 8}{2} = 3$;
$(x + 5)(x — 3) \leq 0$;
$-5 \leq x \leq 3$;
Ответ: возрастает на $[-5; 3]$ и убывает на $(-\infty; -5] \cup [3; +\infty)$.

в) $y = 2x^3 — 3x^2 — 36x + 40$;
Производная функции:
$y'(x) = 2(x^3)’ — 3(x^2)’ + (-36x + 40)’$;
$y'(x) = 2 \cdot 3x^2 — 3 \cdot 2x — 36 = 6x^2 — 6x — 36$;
Промежуток возрастания:
$6x^2 — 6x — 36 \geq 0 \mid : 6$;
$x^2 — x — 6 \geq 0$;
$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25$, тогда:
$x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3$;
$(x + 2)(x — 3) \geq 0$;
$x \leq -2$ или $x \geq 3$;
Ответ: возрастает на $(-\infty; -2] \cup [3; +\infty)$ и убывает на $[-2; 3]$.

г) $y = -x^5 + 5x$;
Производная функции:
$y'(x) = -(x^5)’ + (5x)’ = -5x^4 + 5$;
Промежуток возрастания:
$-5x^4 + 5 \geq 0$;
$5x^4 \leq 5$;
$x^4 \leq 1$;
$-1 \leq x \leq 1$;
Ответ: возрастает на $[-1; 1]$ и убывает на $(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

Функция $y = f(x)$:

• возрастает, если $f'(x) > 0$ на промежутке;
• убывает, если $f'(x) < 0$;
• экстремумы (максимумы/минимумы) возникают в точках, где $f'(x) = 0$ и производная меняет знак.

а) $y = x^3 + 2x$

Шаг 1. Найдём производную функции:

$$y'(x) = (x^3)’ + (2x)’ = 3x^2 + 2$$

Шаг 2. Исследуем знак производной:

$$y'(x) = 3x^2 + 2$$

Так как $x^2 \geq 0 \Rightarrow 3x^2 \geq 0$, значит:

$$3x^2 + 2 \geq 2 > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}$$

Вывод:

Производная всегда положительна ⇒
Функция строго возрастает на всём $\mathbb{R}$.

б) $y = 60 + 45x — 3x^2 — x^3$

Шаг 1. Найдём производную:

$$y'(x) = (60)’ + (45x)’ — 3(x^2)’ — (x^3)’ = 0 + 45 — 6x — 3x^2$$

Упрощаем:

$$y'(x) = 45 — 6x — 3x^2$$

Шаг 2. Исследуем знак производной:

Найдём нули производной:

$$45 — 6x — 3x^2 = 0 \quad \text{разделим на } (-3) \Rightarrow x^2 + 2x — 15 = 0$$ $$D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot 15 = 4 + 60 = 64 \Rightarrow x_1 = \frac{-2 — 8}{2} = -5, \quad x_2 = \frac{-2 + 8}{2} = 3$$

Шаг 3. Анализ знаков по интервалам:

Разметим числовую прямую по точкам $x = -5$ и $x = 3$. Проверим знак производной:

• $x < -5$, например $x = -6$:
  $y'(-6) = 45 — 6(-6) — 3(-6)^2 = 45 + 36 — 108 = -27 < 0$
• $-5 < x < 3$, например $x = 0$:
  $y'(0) = 45 — 0 — 0 = 45 > 0$
• $x > 3$, например $x = 4$:
  $y'(4) = 45 — 6 \cdot 4 — 3 \cdot 16 = 45 — 24 — 48 = -27 < 0$

Вывод:

• Возрастает на $[-5; 3]$
• Убывает на $(-\infty; -5] \cup [3; +\infty)$

в) $y = 2x^3 — 3x^2 — 36x + 40$

Шаг 1. Найдём производную:

$$y'(x) = 2(x^3)’ — 3(x^2)’ + (-36x)’ + (40)’ = 6x^2 — 6x — 36$$

Шаг 2. Решим неравенство $y'(x) \geq 0$:

$$6x^2 — 6x — 36 \geq 0 \quad \text{разделим на 6:} \quad x^2 — x — 6 \geq 0$$ $$D = (-1)^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25 \Rightarrow x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3$$ $$(x + 2)(x — 3) \geq 0 \Rightarrow x \leq -2 \text{ или } x \geq 3$$

Шаг 3. Проверка знаков:

• $x < -2$ и $x > 3$ → $y'(x) > 0$ ⇒ возрастание
• $-2 < x < 3$ → $y'(x) < 0$ ⇒ убывание

Вывод:

• Возрастает на $(-\infty; -2] \cup [3; +\infty)$
• Убывает на $[-2; 3]$

г) $y = -x^5 + 5x$

Шаг 1. Найдём производную:

$$y'(x) = -(x^5)’ + (5x)’ = -5x^4 + 5$$

Шаг 2. Решим неравенство $y'(x) \geq 0$:

$$-5x^4 + 5 \geq 0 \Rightarrow 5x^4 \leq 5 \Rightarrow x^4 \leq 1$$ $$x \in [-1; 1]$$

Шаг 3. Проверим знак производной:

• При $|x| \leq 1$: $y'(x) \geq 0$
• При $|x| > 1$: $x^4 > 1 \Rightarrow y'(x) < 0$

Вывод:

• Возрастает на $[-1; 1]$
• Убывает на $(-\mathrm{\infty };-1]\cup [1;+\mathrm{\infty })$