ГДЗ 10-11 Класс Номер 30.15 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Исследовать функцию на монотонность:

а) $y = \frac{1}{x+3}$;

Производная функции:
$y'(x) = 1 \cdot \left( -\frac{1}{(x+3)^2} \right) = -\frac{1}{(x+3)^2} < 0$;

Выражение имеет смысл при:
$x + 3 \ne 0$;
$x \ne -3$;

Ответ: убывает на $(-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.

б) $y = \frac{3x — 1}{3x + 1}$;

Производная функции:
$y'(x) = \frac{(3x — 1)’ \cdot (3x + 1) — (3x — 1) \cdot (3x + 1)’}{(3x + 1)^2}$;
$y'(x) = \frac{3 \cdot (3x + 1) — (3x — 1) \cdot 3}{(3x + 1)^2} = \frac{3 \cdot 2}{(3x + 1)^2} > 0$;

Выражение имеет смысл при:
$3x + 1 \ne 0$;
$3x \ne -1$;
$x \ne -\frac{1}{3}$;

Ответ: возрастает на $\left( -\infty; -\frac{1}{3} \right) \cup \left( -\frac{1}{3}; +\infty \right)$.

в) $y = \frac{2}{x} + 1$;

Производная функции:
$y'(x) = 2 \left( \frac{1}{x} \right)’ + (1)’ = 2 \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) + 0 = -\frac{2}{x^2} < 0$;

Выражение имеет смысл при:
$x \ne 0$;

Ответ: убывает на $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

г) $y = \frac{1 — 2x}{3 + 2x}$;

Производная функции:
$y'(x) = \frac{(1 — 2x)’ \cdot (3 + 2x) — (1 — 2x) \cdot (3 + 2x)’}{(3 + 2x)^2}$;
$y'(x) = \frac{-2 \cdot (3 + 2x) — (1 — 2x) \cdot 2}{(3 + 2x)^2} = \frac{-2 \cdot 2}{(3 + 2x)^2} < 0$;

Выражение имеет смысл при:
$3 + 2x \ne 0$;
$2x \ne -3$;
$x \ne -1{,}5$;

Ответ: убывает на $(-\infty; -1{,}5) \cup (-1{,}5; +\infty)$.

Чтобы определить промежутки возрастания/убывания функции:

• Найдите производную $y'(x)$.
• Определите область допустимых значений (ОДЗ) — где функция и производная определены.
• Решите неравенство:
  • $y'(x) > 0$ — функция возрастает.
  • $y'(x) < 0$ — функция убывает.
• Укажите промежутки монотонности с учётом ОДЗ.

а) $y = \dfrac{1}{x + 3}$

Шаг 1. Найдём производную

Функция имеет вид $y = (x + 3)^{-1}$, тогда:

$$y'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x + 3} \right) = -\frac{1}{(x + 3)^2}$$

Шаг 2. Исследуем знак производной

Знаменатель всегда положительный (квадрат), а числитель — отрицательный:

$$y'(x) = -\frac{1}{(x + 3)^2} < 0 \quad \forall x \ne -3$$

Шаг 3. Область определения

$$x + 3 \ne 0 \Rightarrow x \ne -3$$

Вывод:

Функция строго убывает на $(-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$

б) $y = \dfrac{3x — 1}{3x + 1}$

Шаг 1. Найдём производную (правило производной дроби)

$$y'(x) = \frac{(3x — 1)’ \cdot (3x + 1) — (3x — 1) \cdot (3x + 1)’}{(3x + 1)^2}$$ $$= \frac{3 \cdot (3x + 1) — 3 \cdot (3x — 1)}{(3x + 1)^2} = \frac{9x + 3 — (9x — 3)}{(3x + 1)^2} = \frac{9x + 3 — 9x + 3}{(3x + 1)^2} = \frac{6}{(3x + 1)^2}$$

Шаг 2. Знак производной

Знаменатель — квадрат, всегда $> 0$, числитель $= 6 > 0$

$$y'(x) > 0 \quad \forall x \ne -\frac{1}{3}$$

Шаг 3. Область определения

$$3x + 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne -\frac{1}{3}$$

Вывод:

Функция строго возрастает на $\left( -\infty; -\frac{1}{3} \right) \cup \left( -\frac{1}{3}; +\infty \right)$

в) $y = \dfrac{2}{x} + 1$

Шаг 1. Найдём производную

$$y'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{2}{x} \right) + (1)’ = -\frac{2}{x^2} + 0 = -\frac{2}{x^2}$$

Шаг 2. Знак производной

$x^2 > 0 \Rightarrow -\frac{2}{x^2} < 0$

Шаг 3. Область определения

$$x \ne 0$$

Вывод:

Функция строго убывает на $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

г) $y = \dfrac{1 — 2x}{3 + 2x}$

Шаг 1. Найдём производную

Применим правило производной дроби:

$$y'(x) = \frac{(1 — 2x)’ \cdot (3 + 2x) — (1 — 2x) \cdot (3 + 2x)’}{(3 + 2x)^2}$$

Посчитаем:

• $(1 — 2x)’ = -2$
• $(3 + 2x)’ = 2$

Подставим:

$$y'(x) = \frac{-2(3 + 2x) — 2(1 — 2x)}{(3 + 2x)^2} = \frac{-6 — 4x — 2 + 4x}{(3 + 2x)^2} = \frac{-8}{(3 + 2x)^2}$$

Шаг 2. Знак производной

• Числитель: $-8 < 0$
• Знаменатель: квадрат ⇒ $> 0$

Значит:

$$y'(x) < 0 \quad \forall x \ne -\frac{3}{2}$$

Шаг 3. Область определения

$$3 + 2x \ne 0 \Rightarrow x \ne -\frac{3}{2}$$

Вывод:

Функция строго убывает на $(-\mathrm{\infty };-\mathrm{1,5})\cup (-\mathrm{1,5};+\mathrm{\infty })$