ГДЗ 10-11 Класс Номер 30.16 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Исследовать функцию на монотонность:

а) $y = \sqrt{3x — 1}$;
Производная функции:
$y'(x) = 3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{3x — 1}} = \frac{3}{2\sqrt{3x — 1}} > 0$;
Выражение имеет смысл при:
$3x — 1 \geq 0$;
$3x \geq 1$;
$x \geq \frac{1}{3}$;
Ответ: возрастает на $\left[\frac{1}{3}; +\infty\right)$.

б) $y = \sqrt{1 — x} + 2x$;
Производная функции:
$y'(x) = -1 \cdot \frac{1}{2\sqrt{1 — x}} + (2x)’ = 2 — \frac{1}{2\sqrt{1 — x}} = \frac{4\sqrt{1 — x} — 1}{2\sqrt{1 — x}}$;
Промежуток возрастания:
$4\sqrt{1 — x} — 1 \geq 0$;
$4\sqrt{1 — x} \geq 1$;
$16(1 — x) \geq 1$;
$16 — 16x \geq 1$;
$16x \leq 15$;
$x \leq \frac{15}{16}$;
Выражение имеет смысл при:
$1 — x \geq 0$;
$x \leq 1$;
Ответ: возрастает на $\left(-\infty; \frac{15}{16}\right]$ и убывает на $\left[\frac{15}{16}; 1\right]$.

в) $y = \sqrt{1 — 2x}$;
Производная функции:
$y'(x) = -2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{1 — 2x}} = -\frac{1}{\sqrt{1 — 2x}} < 0$;
Выражение имеет смысл при:
$1 — 2x \geq 0$;
$2x \leq 1$;
$x \leq 0{,}5$;
Ответ: убывает на $(-\infty; 0{,}5]$.

г) $y = \sqrt{2x — 1} — x$;
Производная функции:
$y'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2x — 1}} — (x)’ = \frac{1}{\sqrt{2x — 1}} — 1 = \frac{1 — \sqrt{2x — 1}}{\sqrt{2x — 1}}$;
Промежуток возрастания:
$1 — \sqrt{2x — 1} \geq 0$;
$\sqrt{2x — 1} \leq 1$;
$2x — 1 \leq 1$;
$2x \leq 2$;
$x \leq 1$;
Выражение имеет смысл при:
$2x — 1 \geq 0$;
$2x \geq 1$;
$x \geq 0{,}5$;
Ответ: возрастает на $[0{,}5; 1]$ и убывает на $[1; +\infty)$.

Для функции $y = f(x)$:

• Найдите производную $f'(x)$;
• Найдите область определения (ОДЗ), особенно если есть корни, деления и т.п.;
• Проанализируйте знак производной:
  • $f'(x) > 0$ ⇒ функция возрастает;
  • $f'(x) < 0$ ⇒ функция убывает;
  • $f'(x) = 0$ ⇒ возможная точка экстремума;
• Укажите промежутки монотонности в рамках ОДЗ.

а) $y = \sqrt{3x — 1}$

Шаг 1. Область определения

Чтобы выражение под корнем было неотрицательным:

$$3x — 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{3}$$

ОДЗ: $x \in \left[\frac{1}{3}; +\infty \right)$

Шаг 2. Находим производную

Используем формулу производной корня:

$$y = (3x — 1)^{1/2} \Rightarrow y'(x) = \frac{1}{2\sqrt{3x — 1}} \cdot (3x — 1)’ = \frac{3}{2\sqrt{3x — 1}}$$

Шаг 3. Анализ производной

• $\sqrt{3x — 1} > 0$ при $x > \frac{1}{3}$,
• следовательно:

  $$y'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x — 1}} > 0 \quad \text{при } x > \frac{1}{3}$$

Вывод:

Функция строго возрастает на $\left[\frac{1}{3}; +\infty \right)$

б) $y = \sqrt{1 — x} + 2x$

Шаг 1. Область определения

$$1 — x \geq 0 \Rightarrow x \leq 1$$

ОДЗ: $x \in (-\infty; 1]$

Шаг 2. Находим производную

$$y'(x) = \left( \sqrt{1 — x} \right)’ + (2x)’ = \left( \frac{-1}{2\sqrt{1 — x}} \right) + 2$$

Приведём к общему знаменателю:

$$y'(x) = 2 — \frac{1}{2\sqrt{1 — x}} = \frac{4\sqrt{1 — x} — 1}{2\sqrt{1 — x}}$$

Шаг 3. Найдём, где производная $\geq 0$:

$$\frac{4\sqrt{1 — x} — 1}{2\sqrt{1 — x}} \geq 0 \Rightarrow 4\sqrt{1 — x} — 1 \geq 0$$ $$4\sqrt{1 — x} \geq 1 \Rightarrow \sqrt{1 — x} \geq \frac{1}{4}$$

Возводим в квадрат:

$$1 — x \geq \frac{1}{16} \Rightarrow x \leq 1 — \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$$

Шаг 4. Промежутки:

• $y'(x) \geq 0$ при $x \leq \frac{15}{16}$
• $y'(x) < 0$ при $\frac{15}{16} < x \leq 1$

Вывод:

• Функция возрастает на $\left(-\infty; \frac{15}{16}\right]$
• Функция убывает на $\left[\frac{15}{16}; 1\right]$

в) $y = \sqrt{1 — 2x}$

Шаг 1. Область определения

$$1 — 2x \geq 0 \Rightarrow x \leq \frac{1}{2}$$

ОДЗ: $x \in (-\infty; 0{,}5]$

Шаг 2. Производная

$$y'(x) = \frac{d}{dx} \left( (1 — 2x)^{1/2} \right) = \frac{1}{2\sqrt{1 — 2x}} \cdot (-2) = -\frac{1}{\sqrt{1 — 2x}}$$

Шаг 3. Анализ производной

• $\sqrt{1 — 2x} > 0$ на $(-\infty; 0{,}5)$
• Следовательно:

  $$y'(x) < 0 \quad \text{при всех } x \in (-\infty; 0{,}5)$$

Вывод:

Функция строго убывает на $(-\infty; 0{,}5]$

г) $y = \sqrt{2x — 1} — x$

Шаг 1. Область определения

$$2x — 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{2}$$

ОДЗ: $x \in [0{,}5; +\infty)$

Шаг 2. Найдём производную

$$y'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{2x — 1} \right) — (x)’ = \frac{1}{2\sqrt{2x — 1}} \cdot 2 — 1 = \frac{1}{\sqrt{2x — 1}} — 1$$

Шаг 3. Найдём, где $y'(x) \geq 0$:

$$\frac{1}{\sqrt{2x — 1}} — 1 \geq 0 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2x — 1}} \geq 1 \Rightarrow \sqrt{2x — 1} \leq 1$$

Возводим в квадрат:

$$2x — 1 \leq 1 \Rightarrow 2x \leq 2 \Rightarrow x \leq 1$$

Шаг 4. Учитываем ОДЗ:

• $x \geq 0{,}5$
• Значит, функция:
  • возрастает на $[0{,}5; 1]$
  • убывает на $[1; +\infty)$

Вывод:

• Функция возрастает на $[0{,}5; 1]$
• Функция убывает на $[1;+\mathrm{\infty })$