ГДЗ 10-11 Класс Номер 30.18 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Доказать, что функция:

а) $y = 7x — \cos 2x$ возрастает на $(-\infty; +\infty)$;

$y'(x) = (7x)’ — 2 \cdot (-\sin 2x) = 7 + 2\sin 2x > 0$;

$-1 \leq \sin 2x \leq 1$, $(7 + 2\sin 2x) \geq 5$;

Что и требовалось доказать.

б) $y = 3\tg x$ возрастает на $\left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)$;

$y'(x) = 3(\tg x)’ = 3 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} > 0$;

$\cos x > 0$, $\cos^2 x > 0$;

Что и требовалось доказать.

в) $y = -\ctg x$ возрастает на $(0; \pi)$;

$y'(x) = -(\ctg x)’ = -\left( -\frac{1}{\sin^2 x} \right) = \frac{1}{\sin^2 x} > 0$;

$\sin x > 0$, $\sin^2 x > 0$;

Что и требовалось доказать.

г) $y = 10x + \sin 3x$ возрастает на $(-\infty; +\infty)$;

$y'(x) = (10x)’ + 3 \cdot \cos 3x = 10 + 3\cos 3x > 0$;

$-1 \leq \cos 3x \leq 1$, $(10 + 3\cos 3x) \geq 7$;

Что и требовалось доказать.

Чтобы доказать, что функция возрастает на каком-либо промежутке:

• Находим производную $y'(x)$;
• Определяем область допустимости (ОДЗ);
• Анализируем знак производной:
  • Если $y'(x) > 0$ на всём рассматриваемом промежутке, функция строго возрастает;
• Делается строгий логический вывод.

а) $y = 7x — \cos 2x$

1. Производная функции:

$$y'(x) = (7x)’ — (\cos 2x)’ = 7 — (-2\sin 2x) = 7 + 2\sin 2x$$

2. Анализ производной:

• Из свойств функции синуса:

  $$-1 \leq \sin 2x \leq 1 \Rightarrow 2\sin 2x \in [-2; 2]$$

• Тогда:

  $$y'(x) = 7 + 2\sin 2x \geq 7 — 2 = 5 > 0$$

3. Область определения:

Функция определена при всех $x \in \mathbb{R}$

Вывод:

Так как производная всегда положительна,
функция возрастает на $(-\infty; +\infty)$

б) $y = 3\tg x$

1. ОДЗ функции:

Тангенс определён на:

$$x \in \left( -\frac{\pi}{2} + \pi n;\ \frac{\pi}{2} + \pi n \right),\quad n \in \mathbb{Z}$$

В задаче рассматривается промежуток:

$$\left( -\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2} \right)$$

2. Производная:

$$y'(x) = 3 \cdot \frac{d}{dx} (\tg x) = 3 \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$$

3. Анализ знака производной:

• На $\left( -\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2} \right)$, $\cos x > 0$
• Значит $\cos^2 x > 0$
• Следовательно:

  $$y'(x) = \frac{3}{\cos^2 x} > 0$$

Вывод:

Функция возрастает на $\left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)$

в) $y = -\ctg x$

1. ОДЗ функции:

Котангенс не определён при $x = \pi n$
Промежуток: $(0; \pi)$ — допустим.

2. Производная:

$$y'(x) = — \frac{d}{dx} (\ctg x) = -(-\frac{1}{\sin^2 x}) = \frac{1}{\sin^2 x}$$

3. Анализ производной:

• На $(0; \pi)$: $\sin x > 0 \Rightarrow \sin^2 x > 0$
• Значит:

  $$y'(x) > 0 \quad \text{на всём промежутке}$$

Вывод:

Функция возрастает на $(0; \pi)$

г) $y = 10x + \sin 3x$

1. Производная функции:

$$y'(x) = (10x)’ + (\sin 3x)’ = 10 + 3\cos 3x$$

2. Анализ производной:

• $\cos 3x \in [-1;\ 1]$
• Тогда:

  $$3\cos 3x \in [-3;\ 3] \Rightarrow y'(x) = 10 + 3\cos 3x \in [7;\ 13]$$

• Следовательно:

  $$y'(x) \geq 7 > 0$$

3. Область определения:

Функция и производная определены при всех $x \in \mathbb{R}$

Вывод:

Функция строго возрастает на $(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$