ГДЗ 10-11 Класс Номер 30.19 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Доказать, что функция:

а) $y = 2x^3 + 2x^2 + 11x — 35$ возрастает на $(-\infty; +\infty)$;
$y'(x) = 2(x^3)’ + 2(x^2)’ + (11x — 35)’$;
$y'(x) = 2 \cdot 3x^2 + 2 \cdot 2x + 11 = 6x^2 + 4x + 11$;

Промежуток возрастания:
$6x^2 + 4x + 11 \geq 0$;
$D = 4^2 — 4 \cdot 6 \cdot 11 = 16 — 264 = -248$;
$D < 0$ и $a > 0$, значит $x \in \mathbb{R}$;
Что и требовалось доказать.

б) $y = 3x^3 — 6x^2 + 41x — 137$ возрастает на $(-\infty; +\infty)$;
$y'(x) = 3(x^3)’ — 6(x^2)’ + (41x — 137)’$;
$y'(x) = 3 \cdot 3x^2 — 6 \cdot 2x + 41 = 9x^2 — 12x + 41$;

Промежуток возрастания:
$9x^2 — 12x + 41 \geq 0$;
$D = 12^2 — 4 \cdot 9 \cdot 41 = 144 — 1476 = -1332$;
$D < 0$ и $a > 0$, значит $x \in \mathbb{R}$;
Что и требовалось доказать.

Чтобы доказать, что функция возрастает на $\mathbb{R}$, нужно:

1. Найти производную функции $y'(x)$;
2. Определить знак производной на всём множестве $x \in \mathbb{R}$;
3. Если $y'(x) > 0$ (или хотя бы $y'(x) \geq 0$) при всех $x \in \mathbb{R}$, и нигде не отрицательна — функция возрастает;
4. Для этого анализируют дискриминант квадратного трехчлена (если он есть в производной).

а) $y = 2x^3 + 2x^2 + 11x — 35$

Шаг 1: Найдём производную

Применим правила дифференцирования по слагаемым:

$$y'(x) = (2x^3)’ + (2x^2)’ + (11x)’ — (35)’ = 6x^2 + 4x + 11$$

Шаг 2: Исследуем знак производной

У нас получилась квадратная функция:

$$y'(x) = 6x^2 + 4x + 11$$

Чтобы понять, всегда ли она положительна, найдём дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = 4^2 — 4 \cdot 6 \cdot 11 = 16 — 264 = -248$$

• Дискриминант отрицательный: $D < 0$
• Значит, нет действительных корней — парабола не пересекает ось $Ox$
• Ветви направлены вверх, так как $a = 6 > 0$
• Следовательно:

  $$y'(x) > 0 \quad \text{при всех } x \in \mathbb{R}$$

Вывод:

Функция строго возрастает на всём множестве

$$\boxed{(-\infty; +\infty)}$$

б) $y = 3x^3 — 6x^2 + 41x — 137$

Шаг 1: Найдём производную

$$y'(x) = (3x^3)’ — (6x^2)’ + (41x)’ — (137)’ = 9x^2 — 12x + 41$$

Шаг 2: Исследуем знак производной

И снова квадратная функция:

$$y'(x) = 9x^2 — 12x + 41$$

Рассчитаем дискриминант:

$$D = (-12)^2 — 4 \cdot 9 \cdot 41 = 144 — 1476 = -1332$$

• $D < 0$ — корней нет
• $a = 9 > 0$ — ветви параболы вверх
• Значит:

  $$y'(x) > 0 \quad \text{при всех } x \in \mathbb{R}$$

Вывод:

Функция строго возрастает на всём множестве

$$\boxed{{\displaystyle (-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })}}$$