ГДЗ 10-11 Класс Номер 30.20 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Доказать, что функция:

а) $y = \dfrac{4x}{4x + 1}$ возрастает на $\left( -\dfrac{1}{4};\ +\infty \right)$;

$$y'(x) = \frac{(4x)’ \cdot (4x + 1) — 4x \cdot (4x + 1)’}{(4x + 1)^2};$$ $$y'(x) = \frac{4 \cdot (4x + 1) — 4x \cdot 4}{(4x + 1)^2} = \frac{16x + 4 — 16x}{(4x + 1)^2} = \frac{4}{(4x + 1)^2} > 0;$$

Выражение имеет смысл при:

$$4x + 1 \neq 0;$$ $$4x \neq -1;$$ $$x \neq -\frac{1}{4};$$

Что и требовалось доказать.

б) $y = \dfrac{2x — 13}{x — 5}$ возрастает на $(-\infty;\ 5)$;

$$y'(x) = \frac{(2x — 13)’ \cdot (x — 5) — (2x — 13) \cdot (x — 5)’}{(x — 5)^2};$$ $$y'(x) = \frac{2 \cdot (x — 5) — (2x — 13) \cdot 1}{(x — 5)^2} = \frac{2x — 10 — 2x + 13}{(x — 5)^2} = \frac{3}{(x — 5)^2} > 0;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x — 5 \neq 0;$$ $$x \neq 5;$$

Что и требовалось доказать.

Общий подход:

1. Найдём производную функции по правилу дифференцирования дроби:

   $$\left( \frac{u(x)}{v(x)} \right)’ = \frac{u'(x)v(x) — u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$$

2. Упростим выражение для производной;
3. Найдём область определения (ОДЗ);
4. Проверим, что производная положительна на указанном промежутке;
5. Сделаем вывод о монотонности.

а) $y = \dfrac{4x}{4x + 1}$

Шаг 1: Найдём производную

Применяем формулу:

$$y'(x) = \frac{(4x)’ \cdot (4x + 1) — 4x \cdot (4x + 1)’}{(4x + 1)^2}$$

Шаг 2: Вычислим производные числителя и знаменателя

• $(4x)’ = 4$
• $(4x + 1)’ = 4$

Подставим:

$$y'(x) = \frac{4 \cdot (4x + 1) — 4x \cdot 4}{(4x + 1)^2}$$

Раскроем скобки:

$$= \frac{16x + 4 — 16x}{(4x + 1)^2}$$

Сократим:

$$= \frac{4}{(4x + 1)^2}$$

Шаг 3: Область определения

Нельзя делить на ноль, значит:

$$4x + 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne -\frac{1}{4}$$

Шаг 4: Анализ производной

• В квадрате выражение всегда $> 0$, кроме точки разрыва $x = -\frac{1}{4}$
• Тогда:

$$y'(x) = \frac{4}{(4x + 1)^2} > 0 \quad \text{при } x \in (-\infty; -\tfrac{1}{4}) \cup (-\tfrac{1}{4}; +\infty)$$

Значит, производная положительна всюду, кроме точки $x = -\tfrac{1}{4}$, где функция не определена.

Вывод:

Функция строго возрастает на $\boxed{\left( -\frac{1}{4};\ +\infty \right)}$

б) $y = \dfrac{2x — 13}{x — 5}$

Шаг 1: Найдём производную

$$y'(x) = \frac{(2x — 13)’ \cdot (x — 5) — (2x — 13) \cdot (x — 5)’}{(x — 5)^2}$$

Шаг 2: Вычислим производные

• $(2x — 13)’ = 2$
• $(x — 5)’ = 1$

Подставим:

$$y'(x) = \frac{2(x — 5) — (2x — 13)}{(x — 5)^2}$$

Раскроем скобки:

$$= \frac{2x — 10 — 2x + 13}{(x — 5)^2} = \frac{3}{(x — 5)^2}$$

Шаг 3: Область определения

$$x — 5 \ne 0 \Rightarrow x \ne 5$$

Шаг 4: Анализ производной

• $(x — 5)^2 > 0$ при $x \ne 5$
• Значит:

$$y'(x) = \frac{3}{(x — 5)^2} > 0 \quad \text{для всех } x \ne 5$$

Вывод:

Функция строго возрастает на промежутке

$$\boxed{(-\infty;\ 5)} \quad \text{(а также на } \boxed{(5;\ +\infty)})$$

Но в условии указан только левый интервал, и он корректен, так как производная положительна и функция определена.