ГДЗ 10-11 Класс Номер 30.22 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Доказать, что функция:

а) $y = \dfrac{3x + 7}{x + 2}$ убывает на $(-2; +\infty)$;

$$y'(x) = \frac{(3x + 7)’ \cdot (x + 2) — (3x + 7) \cdot (x + 2)’}{(x + 2)^2};$$ $$y'(x) = \frac{3 \cdot (x + 2) — (3x + 7) \cdot 1}{(x + 2)^2} = \frac{3x + 6 — 3x — 7}{(x + 2)^2} = \frac{-1}{(x + 2)^2} < 0;$$

Выражение имеет смысл при:
$x + 2 \ne 0$;
$x \ne -2$;

Что и требовалось доказать.

б) $y = \dfrac{-4x + 1}{2x + 1}$ убывает на $\left(-\infty; -\dfrac{1}{2}\right)$;

$$y'(x) = \frac{(-4x + 1)’ \cdot (2x + 1) — (-4x + 1) \cdot (2x + 1)’}{(2x + 1)^2};$$ $$y'(x) = \frac{-4 \cdot (2x + 1) — (1 — 4x) \cdot 2}{(2x + 1)^2} = \frac{-8x — 4 — 2 + 8x}{(2x + 1)^2} = \frac{-6}{(2x + 1)^2} < 0;$$

Выражение имеет смысл при:
$2x + 1 \ne 0$;
$2x \ne -1$;
$x \ne -\dfrac{1}{2}$;

Что и требовалось доказать.

а) $y = \dfrac{3x + 7}{x + 2}$

Шаг 1: Область определения

Функция рациональная. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$$x + 2 \ne 0 \Rightarrow x \ne -2$$

Значит, $y(x)$ определена при $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$

Шаг 2: Найдём производную функции

Используем правило производной частного:

$$y'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) — u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}$$

Где:
$u(x) = 3x + 7$,
$v(x) = x + 2$

$$u'(x) = 3, \quad v'(x) = 1$$

Подставим:

$$y'(x) = \frac{3 \cdot (x + 2) — (3x + 7) \cdot 1}{(x + 2)^2}$$

Шаг 3: Упростим числитель

$$3(x + 2) = 3x + 6, \quad \text{и} \quad (3x + 7) = 3x + 7$$ $$\Rightarrow y'(x) = \frac{3x + 6 — 3x — 7}{(x + 2)^2} = \frac{-1}{(x + 2)^2}$$

Шаг 4: Знак производной

• $(x + 2)^2 > 0$ при любом $x \ne -2$
• Следовательно, $y'(x) = \frac{-1}{\text{положительное число}} < 0$

Вывод:
Производная $y'(x) < 0$ при всех $x \ne -2$, значит:

$$\boxed{y = \dfrac{3x + 7}{x + 2} \text{ убывает на } (-2; +\infty)}$$

б) $y = \dfrac{-4x + 1}{2x + 1}$

Шаг 1: Область определения

Исключим значения, при которых знаменатель обращается в ноль:

$$2x + 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne -\dfrac{1}{2}$$

Функция определена при:

$$x \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (-\frac{1}{2}; +\infty)$$

Шаг 2: Найдём производную

Формула производной частного:

$$y'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) — u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}$$

Где:
$u(x) = -4x + 1$,
$v(x) = 2x + 1$

$$u'(x) = -4, \quad v'(x) = 2$$

Подставим:

$$y'(x) = \frac{(-4) \cdot (2x + 1) — (-4x + 1) \cdot 2}{(2x + 1)^2}$$

Шаг 3: Упростим числитель

$$-4(2x + 1) = -8x — 4, \quad 2(-4x + 1) = -8x + 2$$ $$y'(x) = \frac{-8x — 4 — (-8x + 2)}{(2x + 1)^2} = \frac{-8x — 4 + 8x — 2}{(2x + 1)^2}$$ $$y'(x) = \frac{-6}{(2x + 1)^2}$$

Шаг 4: Знак производной

• Знаменатель: $(2x + 1)^2 > 0$ при любом $x \ne -\frac{1}{2}$
• Числитель: $-6 < 0$

Следовательно:

$$y'(x) < 0 \quad \text{при всех } x \ne -\frac{1}{2}$$

Вывод:

$$\boxed{{\displaystyle y=\frac{-4x+1}{2x+1}\text{ убывает на }(-\mathrm{\infty };-\frac{1}{2})}}$$