ГДЗ 10-11 Класс Номер 30.23 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = 7 \cos x — 5 \sin 3x — 22x$ убывает на $(-\infty; +\infty)$;

б) $y = 3 \cos 7x — 8 \sin \frac{x}{2} — 25x + 1$ убывает на $(-\infty; +\infty)$

Доказать, что функция:

а) $y = 7 \cos x — 5 \sin 3x — 22x$ убывает на $(-\infty; +\infty)$;
$y'(x) = 7(\cos x)’ — 5 \cdot 3 \cdot \cos 3x — (22x)’$;
$y'(x) = 7 \cdot (-\sin x) — 15 \cos 3x — 22$;
$y'(x) = -(7 \sin x + 15 \cos 3x) — 22 \leq 0$;
$-7 \leq 7 \sin x \leq 7$;
$-15 \leq 15 \cos 3x \leq 15$;
$-22 \leq 7 \sin x + 15 \cos 3x \leq 22$;
Что и требовалось доказать.

б) $y = 3 \cos 7x — 8 \sin \frac{x}{2} — 25x + 1$ убывает на $(-\infty; +\infty)$;
$y'(x) = 3 \cdot 7 \cdot (-\sin 7x) — 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} + (-25x + 1)’$;
$y'(x) = -21 \sin 7x — 4 \cos \frac{x}{2} — 25$;
$y'(x) = -\left(21 \sin 7x + 4 \cos \frac{x}{2}\right) — 25 \leq 0$;
$-21 \leq 21 \sin 7x \leq 21$;
$-4 \leq 4 \cos \frac{x}{2} \leq 4$;
$-25 \leq 21 \sin 7x + 4 \cos \frac{x}{2} \leq 25$;
Что и требовалось доказать.

а) $y = 7\cos x — 5\sin 3x — 22x$

Шаг 1: Найдём производную функции

Для функции:

$$y = 7\cos x — 5\sin 3x — 22x$$

Применим правила дифференцирования:

• Производная от $\cos x$ равна $-\sin x$
• Производная от $\sin 3x$ по правилу цепочки:

  $$(\sin 3x)’ = 3\cos 3x$$

• Производная от $-22x$ — это просто $-22$

Шаг 2: Вычислим производную

$$y'(x) = \frac{d}{dx}[7\cos x] — \frac{d}{dx}[5\sin 3x] — \frac{d}{dx}[22x]$$ $$y'(x) = 7(-\sin x) — 5 \cdot 3 \cos 3x — 22$$ $$y'(x) = -7\sin x — 15\cos 3x — 22$$

Шаг 3: Оценим знак производной

Нам нужно доказать, что функция убывает, т.е. $y'(x) \leq 0$ при любом $x \in \mathbb{R}$

Используем свойства тригонометрических функций:

• $-1 \leq \sin x \leq 1 \Rightarrow -7 \leq -7\sin x \leq 7$
• $-1 \leq \cos 3x \leq 1 \Rightarrow -15 \leq -15\cos 3x \leq 15$

Сумма:

$$-7\sin x — 15\cos 3x \in [-22; 22]$$

Добавим ещё $-22$:

$$y'(x) = (-7\sin x — 15\cos 3x) — 22 \leq 22 — 22 = 0$$

Вывод:

$$\boxed{y'(x) \leq 0 \Rightarrow \text{функция убывает на всём } (-\infty; +\infty)}$$

б) $y = 3\cos 7x — 8\sin \frac{x}{2} — 25x + 1$

Шаг 1: Найдём производную функции

Для:

$$y = 3\cos 7x — 8\sin \frac{x}{2} — 25x + 1$$

Применяем производные:

• $(3\cos 7x)’ = 3 \cdot (-\sin 7x) \cdot 7 = -21\sin 7x$
• $(-8\sin \frac{x}{2})’ = -8 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} = -4\cos \frac{x}{2}$
• $(-25x)’ = -25$, $(1)’ = 0$

Шаг 2: Вычислим производную

$$y'(x) = -21\sin 7x — 4\cos \frac{x}{2} — 25$$

Шаг 3: Оценим знак производной

Проверим, действительно ли $y'(x) \leq 0$ при любом $x \in \mathbb{R}$

• $-1 \leq \sin 7x \leq 1 \Rightarrow -21 \leq -21\sin 7x \leq 21$
• $-1 \leq \cos \frac{x}{2} \leq 1 \Rightarrow -4 \leq -4\cos \frac{x}{2} \leq 4$

Тогда:

$$-21\sin 7x — 4\cos \frac{x}{2} \in [-25; 25]$$

Добавим $-25$:

$$y'(x) = (-21\sin 7x — 4\cos \frac{x}{2}) — 25 \leq 0$$

Вывод:

$$\boxed{{\displaystyle y^{\mathrm{\prime }}(x)\le 0\Rightarrow \text{функция убывает на всём }(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })}}$$