ГДЗ 10-11 Класс Номер 30.25 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $y=ax-\cos x$;

б) $y=2\sin 2x-ax$

Выяснить, при каких значениях параметра $a$ функция возрастает на всей числовой прямой:

а) $y=ax-\cos x$;

Производная функции:
$y^{\mathrm{\prime }}(x)=(ax{)}^{\mathrm{\prime }}-(\cos x{)}^{\mathrm{\prime }}=a-(-\sin x)=\sin x+a$;

Промежуток возрастания:
$\sin x+a\ge 0$;
$\sin x\ge -a$;

Неравенство всегда верно:
$-a\le -1$;
$a\ge 1$;

Ответ: $a\in [1;+\mathrm{\infty })$.

б) $y=2\sin 2x-ax$;

Производная функции:
$y^{\mathrm{\prime }}(x)=2\cdot 2\cos 2x-(ax{)}^{\mathrm{\prime }}=4\cos 2x-a$;

Промежуток возрастания:
$4\cos 2x-a\ge 0$;
$4\cos 2x\ge a$;
$\cos 2x\ge \frac{a}{4}$;

Неравенство всегда верно:
$\frac{a}{4}\le -1$;
$a\le -4$;

Ответ: $a\in (-\mathrm{\infty };-4]$.

а) $y=ax-\cos x$

Шаг 1: Найдём производную функции

Функция:

$$y=ax-\cos x$$

Используем стандартные правила дифференцирования:

• $(ax{)}^{\mathrm{\prime }}=a$
• $(-\cos x{)}^{\mathrm{\prime }}=\sin x$

Итак:

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=a+\sin x$$

Шаг 2: Условие возрастания функции

Функция возрастает тогда, когда её производная неотрицательна на всей области определения:

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=a+\sin x\ge 0$$

Переносим $a$ в другую часть:

$$\sin x\ge -a$$

Шаг 3: Исследуем границы функции $\sin x$

Известно, что:

$$\sin x\in [-1;1]\text{для всех }x\in \mathbb{R}$$

Следовательно, чтобы неравенство $\sin x\ge -a$ выполнялось при любом $x\in \mathbb{R}$, нужно:

$$\mathrm{\forall }\sin x\in [-1;1]\Rightarrow \sin x\ge -a$$

Самое «опасное» значение — минимальное значение $\sin x=-1$, поэтому:

$$-1\ge -a\Rightarrow a\ge 1$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle a\in [1;+\mathrm{\infty })}}$$

б) $y=2\sin 2x-ax$

Шаг 1: Найдём производную функции

Функция:

$$y=2\sin 2x-ax$$

Используем производные:

• $(2\sin 2x{)}^{\mathrm{\prime }}=2\cdot 2\cos 2x=4\cos 2x$
• $(ax{)}^{\mathrm{\prime }}=a$

Итак:

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=4\cos 2x-a$$

Шаг 2: Условие возрастания

Функция возрастает при:

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)\ge 0\Rightarrow 4\cos 2x-a\ge 0$$

Переносим $a$:

$$4\cos 2x\ge a\Rightarrow \cos 2x\ge \frac{a}{4}$$

Шаг 3: Границы функции $\cos 2x$

Известно:

$$\cos 2x\in [-1;1]\text{для всех }x\in \mathbb{R}$$

Чтобы неравенство $\cos 2x\ge \frac{a}{4}$ выполнялось при всех $x$, нужно, чтобы максимум $\cos 2x=1$ был не меньше, чем $\frac{a}{4}$:

$$\frac{a}{4}\le \cos 2x\text{ при любом }x\in \mathbb{R}\Rightarrow \frac{a}{4}\le -1$$

$$(\text{чтобы даже минимум }\cos 2x=-1\text{ удовлетворял})$$

Тогда:

$$\frac{a}{4}\le -1\Rightarrow a\le -4$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle a\in (-\mathrm{\infty };-4]}}$$