ГДЗ 10-11 Класс Номер 30.26 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Выяснить, при каких значениях параметра $b$ функция убывает на всей области определения:

а) $y = 7 + bx — x^2 — x^3$;

Производная функции:
$y'(x) = (7 + bx)’ — (x^2)’ — (x^3)’ = b — 2x — 3x^2$;

Промежуток убывания:
$b — 2x — 3x^2 \leq 0$;
$3x^2 + 2x — b \geq 0$;
$D = 2^2 + 4 \cdot 3 \cdot b = 4 + 12b = 4(1 + 3b)$;

Неравенство всегда верно:
$4(1 + 3b) \leq 0$;
$1 + 3b \leq 0$;
$3b \leq -1$;
$b \leq -\frac{1}{3}$;

Ответ: $b \in \left(-\infty; -\frac{1}{3}\right]$.

б) $y = -2\sqrt{x+3} + bx$;

Производная функции:
$y'(x) = -2(\sqrt{x+3})’ + (bx)’$;
$y'(x) = -2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+3}} + b = \frac{b\sqrt{x+3} — 1}{\sqrt{x+3}}$;

Промежуток убывания:
$b\sqrt{x+3} — 1 \leq 0$;
$b\sqrt{x+3} \leq 1$;

Если $b > 0$, тогда:
$\sqrt{x+3} \leq \frac{1}{b}$;

Если $b < 0$, тогда:
$\sqrt{x+3} \geq \frac{1}{b}$;
$\frac{1}{b} \leq 0$;
$b < 0$;

Если $b = 0$, тогда:
$0 \cdot \sqrt{x+3} \leq 1$;
$x \in R$;

Ответ: $b \in (-\infty; 0]$.

в) $y = x^3 + bx^2 + 3x + 21$;

Производная функции:
$y'(x) = (x^3)’ + b(x^2)’ + (3x + 21)’$;
$y'(x) = 3x^2 + b \cdot 2x + 3 = 3x^2 + 2bx + 3$;

Промежуток убывания:
$3x^2 + 2bx + 3 \leq 0$;

Ответ: $b \in \varnothing$.

г) $y = -2bx + \sqrt{1 — x}$;

Производная функции:
$y'(x) = (-2bx)’ + (\sqrt{1 — x})’$;
$y'(x) = -2b + (-1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{1 — x}} = \frac{-4b\sqrt{1 — x} — 1}{2\sqrt{1 — x}}$;

Промежуток убывания:
$-4b\sqrt{1 — x} — 1 \leq 0$;
$4b\sqrt{1 — x} \geq -1$;

Если $b > 0$, тогда:
$\sqrt{1 — x} \geq -\frac{1}{4b}$;
$-\frac{1}{4b} \leq 0$;
$b > 0$;

Если $b < 0$, тогда:
$\sqrt{1 — x} \leq -\frac{1}{4b}$;

Если $b = 0$, тогда:
$0 \cdot 4\sqrt{1 — x} \geq -1$;
$x \in R$;

Ответ: $b \in [0; +\infty)$.

а) $y = 7 + bx — x^2 — x^3$

Шаг 1. Найдём область определения функции

Функция — многочлен третьей степени, определена на всём множестве действительных чисел, то есть:

$$D(y) = \mathbb{R}$$

Шаг 2. Найдём производную функции

Найдем первую производную $y(x)$ по правилу дифференцирования суммы и степенной функции:

$$y = 7 + bx — x^2 — x^3$$ $$y'(x) = (7)’ + (bx)’ — (x^2)’ — (x^3)’ = 0 + b — 2x — 3x^2$$

То есть:

$$y'(x) = b — 2x — 3x^2$$

Шаг 3. Функция убывает, если производная не положительна

Функция убывает на всей области определения, если:

$$y'(x) \leq 0 \quad \text{при всех } x \in \mathbb{R}$$

Значит:

$$b — 2x — 3x^2 \leq 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}$$

Преобразуем:

$$-2x — 3x^2 + b \leq 0 \Rightarrow 3x^2 + 2x — b \geq 0$$

Шаг 4. Исследуем квадратное неравенство $3x^2 + 2x — b \geq 0$

Это парабола с ветвями вверх (коэффициент при $x^2$ положительный).

Чтобы выражение было неотрицательно при всех $x$, оно не должно иметь действительных корней (т.е. дискриминант $D \leq 0$).

Найдём дискриминант:

$$D = (2)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-b) = 4 + 12b = 4(1 + 3b)$$

Требуем:

$$D \leq 0 \Rightarrow 4(1 + 3b) \leq 0 \Rightarrow 1 + 3b \leq 0 \Rightarrow 3b \leq -1 \Rightarrow b \leq -\frac{1}{3}$$

Ответ а):

$$\boxed{b \in \left( -\infty; -\frac{1}{3} \right]}$$

б) $y = -2\sqrt{x+3} + bx$

Шаг 1. Область определения

Подкоренное выражение: $x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3$

$$D(y) = [-3, +\infty)$$

Шаг 2. Найдём производную функции

Функция:

$$y = -2\sqrt{x + 3} + bx$$

Используем правило производной для корня и линейной функции:

$$y'(x) = -2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+3}} + b = \frac{-1}{\sqrt{x+3}} + b$$

Объединяем в одну дробь:

$$y'(x) = \frac{b\sqrt{x+3} — 1}{\sqrt{x+3}}$$

Шаг 3. Функция убывает, если $y'(x) \leq 0$

$$\frac{b\sqrt{x+3} — 1}{\sqrt{x+3}} \leq 0$$

Так как знаменатель $\sqrt{x+3} > 0$ на области определения (строго положителен), знак дроби определяется числителем:

$$b\sqrt{x+3} — 1 \leq 0 \Rightarrow b\sqrt{x+3} \leq 1$$

Случай 1: $b > 0$

$$\sqrt{x+3} \leq \frac{1}{b}$$

Но $x+3 \geq 0$, значит максимум $\sqrt{x+3} \to \infty$.
Чтобы неравенство выполнялось на всей области определения $x \geq -3$,
правая часть $\frac{1}{b}$ должна быть не меньше максимума $\sqrt{x+3} \to \infty$,
что невозможно.

Значит, при $b > 0$ неравенство нарушается при больших $x$.

Случай 2: $b < 0$

$$b\sqrt{x+3} \leq 1 \Rightarrow \text{левая часть отрицательна, правая положительна ⇒ всегда верно}$$

Значит, неравенство выполняется для всех $x \in [-3, +\infty)$

Случай 3: $b = 0$

$$\frac{0 \cdot \sqrt{x+3} — 1}{\sqrt{x+3}} = \frac{-1}{\sqrt{x+3}} < 0 \quad \forall x \in [-3, +\infty)$$

То есть тоже убывает на всей области определения.

Ответ б):

$$\boxed{b \in (-\infty; 0]}$$

в) $y = x^3 + bx^2 + 3x + 21$

Шаг 1. Область определения

Функция — многочлен ⇒ определена при всех $x \in \mathbb{R}$

Шаг 2. Найдём производную

$$y'(x) = 3x^2 + 2bx + 3$$

Шаг 3. Функция убывает, если $y'(x) \leq 0$

$$3x^2 + 2bx + 3 \leq 0$$

Это парабола с ветвями вверх (коэффициент 3 > 0).
Чтобы выражение было неположительным для всех $x \in \mathbb{R}$ —
невозможно, так как парабола в любом случае будет положительна хотя бы в одном месте (например, при $x = 0$, получим $y'(0) = 3 > 0$).

Аналитически:
Рассмотрим дискриминант:

$$D = (2b)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 4b^2 — 36$$

Даже если $D \geq 0$, неравенство будет выполняться только на промежутке между корнями, но не на всей области определения.

Значит:

$$3x^2 + 2bx + 3 \leq 0 \quad \text{не выполняется для всех } x$$

Ответ в):

$$\boxed{b \in \varnothing}$$

г) $y = -2bx + \sqrt{1 — x}$

Шаг 1. Область определения

Подкоренное выражение: $1 — x \geq 0 \Rightarrow x \leq 1$

$$D(y) = (-\infty; 1]$$

Шаг 2. Найдём производную

$$y'(x) = (-2bx)’ + (\sqrt{1 — x})’ = -2b + \frac{d}{dx}(\sqrt{1 — x})$$

Производная корня:

$$\frac{d}{dx}(\sqrt{1 — x}) = \frac{1}{2\sqrt{1 — x}} \cdot (-1) = \frac{-1}{2\sqrt{1 — x}}$$

Итак:

$$y'(x) = -2b — \frac{1}{2\sqrt{1 — x}}$$

Объединяем:

$$y'(x) = \frac{-4b\sqrt{1 — x} — 1}{2\sqrt{1 — x}}$$

Шаг 3. Требуем, чтобы функция убывала ⇒ $y'(x) \leq 0$

$$\frac{-4b\sqrt{1 — x} — 1}{2\sqrt{1 — x}} \leq 0$$

Знаменатель положителен (корень из положительного числа), значит:

$$-4b\sqrt{1 — x} — 1 \leq 0 \Rightarrow -4b\sqrt{1 — x} \leq 1 \Rightarrow 4b\sqrt{1 — x} \geq -1$$

Случай 1: $b > 0$

$$\sqrt{1 — x} \geq -\frac{1}{4b}$$

Правая часть отрицательна ⇒ неравенство всегда выполняется

Случай 2: $b < 0$

$$\sqrt{1 — x} \leq -\frac{1}{4b} \quad \text{(но правая часть положительна ⇒ надо проверять)}$$

Поскольку область определения $x \leq 1 \Rightarrow \sqrt{1 — x} \in [0, +\infty)$,
а правая часть конечна, то при $x \to -\infty$ корень будет расти и неравенство нарушится.

Значит, не выполняется на всей области определения.

Случай 3: $b = 0$

$$y'(x) = \frac{-1}{2\sqrt{1 — x}} < 0 \quad \forall x < 1$$

Ответ г):

$$\boxed{b \in [0; +\infty)}$$

Окончательные ответы:

а) $b \in \left( -\infty; -\frac{1}{3} \right]$

б) $b \in (-\infty; 0]$

в) $b \in \varnothing$

г) $b\in [0;+\mathrm{\infty })$