ГДЗ 10-11 Класс Номер 30.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

По графику производной, изображённому на рисунке, определите, на каких промежутках функция у = f(x) возрастает, а на каких — убывает:

а) рис. 49;

б) рис. 50;

в) рис. 51;

г) рис. 52.

По графику производной, изображенному на рисунке, определить, на каких промежутках функция $y=f(x)$ возрастает, а на каких убывает:

а) Рисунок 49:
Функция возрастает на $(-\mathrm{\infty };-2]\cup [2;+\mathrm{\infty })$;
Функция убывает на $[-2;2]$;

б) Рисунок 50:
Функция возрастает на $(-\mathrm{\infty };-4]\cup [0;3]$;
Функция убывает на $[-4;0]\cup [3;+\mathrm{\infty })$;

в) Рисунок 51:
Функция возрастает на $(-\mathrm{\infty };-6]$;
Функция убывает на $[-6;+\mathrm{\infty })$;

г) Рисунок 52:
Функция возрастает на $[-\mathrm{2,5};\mathrm{2,5}]$;
Функция убывает на $(-\mathrm{\infty };-\mathrm{2,5}]\cup [\mathrm{2,5};+\mathrm{\infty })$

Если известен график производной $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, то:

• Функция $f(x)$ возрастает, когда производная положительна, т.е. $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$;
• Функция $f(x)$ убывает, когда производная отрицательна, т.е. $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$;
• Если $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$, это возможная точка экстремума (максимум или минимум).

а) Рисунок 49

На интервалах:

• $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ при $x\in (-\mathrm{\infty };-2]\cup [2;+\mathrm{\infty })$ → функция $f(x)$ возрастает

На интервале:

• $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ при $x\in [-2;2]$ → функция $f(x)$ убывает

На границах:

• В точках $x=-2$ и $x=2$ производная, видимо, равна нулю: $f^{\mathrm{\prime }}(-2)=0$, $f^{\mathrm{\prime }}(2)=0$

Вывод:

• Возрастает: $\boxed{{\displaystyle (-\mathrm{\infty };-2]\cup [2;+\mathrm{\infty })}}$
• Убывает: $\boxed{{\displaystyle [-2;2]}}$

б) Рисунок 50

Производная $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$:

• От $-\mathrm{\infty }$ до $-4$, и от $0$ до $3$ — функция возрастает

Производная $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$:

• От $-4$ до $0$, и от $3$ до $+\mathrm{\infty }$ — функция убывает

В точках $-4$, $0$, и $3$:

• Производная $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ (границы промежутков — предполагаемые экстремумы)

Вывод:

• Возрастает: $\boxed{{\displaystyle (-\mathrm{\infty };-4]\cup [0;3]}}$
• Убывает: $\boxed{{\displaystyle [-4;0]\cup [3;+\mathrm{\infty })}}$

в) Рисунок 51

Производная положительна:

• На $(-\mathrm{\infty };-6]$, значит функция возрастает

Производная отрицательна:

• На $[-6;+\mathrm{\infty })$, значит функция убывает

В точке $x=-6$:

• $f^{\mathrm{\prime }}(-6)=0$, значит — возможный максимум

Вывод:

• Возрастает: $\boxed{{\displaystyle (-\mathrm{\infty };-6]}}$
• Убывает: $\boxed{{\displaystyle [-6;+\mathrm{\infty })}}$

г) Рисунок 52

Производная $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$:

• Только на отрезке $[-2.5;2.5]$

Производная $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$:

• По краям графика: левее $-2.5$ и правее $2.5$

В точках $x=\pm 2.5$:

• Производная равна нулю — возможные точки минимума/максимума

Вывод:

• Возрастает: $\boxed{{\displaystyle [-\mathrm{2,5};\mathrm{2,5}]}}$
• Убывает: $\boxed{{\displaystyle (-\mathrm{\infty };-\mathrm{2,5}]\cup [\mathrm{2,5};+\mathrm{\infty })}}$