ГДЗ 10-11 Класс Номер 30.32 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Таблица данных о производной $f'(x)$:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & (-\infty; -5) & -5 & (-5; -2) & -2 & (-2; 8) & 8 & (8; +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & — & 0 & + & 0 & + \\ \hline \end{array}$$

а) Промежутки возрастания функции $y = f(x)$:
$(-\infty; -5] \cup [-2; +\infty)$;

б) Промежуток убывания функции $y = f(x)$:
$[-5; -2]$;

в) Точка максимума функции $y = f(x)$:
$x = -5$;

г) Точка минимума функции $y = f(x)$:
$x=-2$$x = -2$

Имеется таблица, в которой указаны:

• знаки производной $f'(x)$ на разных промежутках;
• значения $f'(x) = 0$ в отдельных точках.

На основе этих данных нужно:

1. Найти промежутки возрастания и убывания функции $f(x)$;
2. Определить точки экстремума — максимум и минимум функции.

Теория (основа анализа по производной)

Знак производной $f'(x)$ позволяет определить поведение функции $f(x)$:

• Если $f'(x) > 0$ → функция возрастает.
• Если $f'(x) < 0$ → функция убывает.
• Если $f'(x) = 0$ и знак производной меняется — возможен экстремум:
  • $f'(x)$ меняется с $+$ на $—$ → локальный максимум.
  • $f'(x)$ меняется с $—$ на $+$ → локальный минимум.

Таблица (анализ)

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & (-\infty; -5) & -5 & (-5; -2) & -2 & (-2; 8) & 8 & (8; +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & — & 0 & + & 0 & + \\ \hline \end{array}$$

Разберём каждый интервал и точку:

Интервал $(-\infty; -5)$

• $f'(x) > 0$ → функция возрастает

Точка $x = -5$

• $f'(x) = 0$
• До этой точки $f'(x) > 0$, после неё $f'(x) < 0$
  → функция переходит от возрастания к убыванию

Следовательно:
$x = -5$ — точка локального максимума

Интервал $(-5; -2)$

• $f'(x) < 0$ → функция убывает

Точка $x = -2$

• $f'(x) = 0$
• До неё $f'(x) < 0$, после — $f'(x) > 0$
  → функция переходит от убывания к возрастанию

Следовательно:
$x = -2$ — точка локального минимума

Интервал $(-2; 8)$

• $f'(x) > 0$ → функция возрастает

Точка $x = 8$

• $f'(x) = 0$
• До и после неё производная остаётся положительной $f'(x) > 0$
  → функция продолжает возрастать, экстремума нет

Интервал $(8; +\infty)$

• $f'(x) > 0$ → функция возрастает

а) Промежутки возрастания функции $y = f(x)$:

• Возрастание происходит там, где $f'(x) > 0$, а также в точках, где $f'(x) = 0$, но не происходит смены знака на минус.
• Это:
  • $(-\infty; -5)$ — возрастает
  • $x = -5$ — включаем, так как максимум
  • $(-2; 8)$ и $x = -2$ — включаем, так как минимум
  • $x = 8$ и $(8; +\infty)$ — продолжается возрастание

Объединяем:
$(-\infty; -5] \cup [-2; +\infty)$

б) Промежуток убывания функции $y = f(x)$:

• Убывание: где $f'(x) < 0$, а также граничные точки, где производная = 0 и знак меняется
• Это:
  • $(-5; -2)$
  • $x = -5$ и $x = -2$ можно включить, так как в них происходят переходы (переход к убыванию/от убывания)

Ответ:
$[-5; -2]$

в) Точка максимума функции $y = f(x)$:

• Производная меняется с $+$ на $—$ в точке $x = -5$

Ответ:
$x = -5$

г) Точка минимума функции $y = f(x)$:

• Производная меняется с $—$ на $+$ в точке $x = -2$

Ответ:
$x=-2$