ГДЗ 10-11 Класс Номер 30.34 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Выяснить, при каких значениях параметра $a$ заданная функция имеет одну стационарную точку:

а) $y = x^3 — 3ax^2 + 27x — 5$;

Производная функции:
$y'(x) = (x^3)’ — 3a(x^2)’ + (27x — 5)’$;
$y'(x) = 3x^2 — 3a \cdot 2x + 27 = 3x^2 — 6ax + 27$;

Стационарные точки:
$3x^2 — 6ax + 27 = 0$;
$x^2 — 2ax + 9 = 0$;

$D = (2a)^2 — 4 \cdot 9 = 4a^2 — 36 = 4(a^2 — 9)$;

Уравнение имеет одно решение:
$4(a^2 — 9) = 0$;
$a^2 — 9 = 0$;
$a^2 = 9$;
$a = \pm\sqrt{9} = \pm3$;

Ответ: $\pm 3$.

б) $y = x^3 — 3ax^2 + 75x — 10$;

Производная функции:
$y'(x) = (x^3)’ — 3a(x^2)’ + (75x — 10)’$;
$y'(x) = 3x^2 — 3a \cdot 2x + 75 = 3x^2 — 6ax + 75$;

Стационарные точки:
$3x^2 — 6ax + 75 = 0$;
$x^2 — 2ax + 25 = 0$;

$D = (2a)^2 — 4 \cdot 25 = 4a^2 — 100 = 4(a^2 — 25)$;

Уравнение имеет одно решение:
$4(a^2 — 25) = 0$;
$a^2 — 25 = 0$;
$a^2 = 25$;
$a = \pm\sqrt{25} = \pm5$;

Ответ: $\pm 5$.

Что такое стационарная точка?

Стационарная точка — это точка $x$, в которой производная функции равна нулю:

$$f'(x) = 0$$

Для полинома третьей степени, как в этой задаче, производная — это квадратный трехчлен. Количество стационарных точек определяется количеством корней уравнения $f'(x) = 0$.

Когда у квадратного уравнения один корень?

У квадратного уравнения:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

Есть ровно один корень, если дискриминант $D = 0$:

$$D = b^2 — 4ac = 0$$

а) $y = x^3 — 3a x^2 + 27x — 5$

Шаг 1. Найдём производную

Используем правила дифференцирования:

$$y'(x) = (x^3)’ — 3a(x^2)’ + (27x)’ — (5)’ = 3x^2 — 6a x + 27$$

Шаг 2. Найдём стационарные точки

Поставим $y'(x) = 0$:

$$3x^2 — 6a x + 27 = 0$$

Разделим обе части на 3:

$$x^2 — 2a x + 9 = 0$$

Это квадратное уравнение. Количество решений зависит от дискриминанта:

$$D = (-2a)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 9 = 4a^2 — 36$$

Шаг 3. Когда одно решение?

Уравнение имеет один корень, если $D = 0$:

$$4a^2 — 36 = 0 \Rightarrow a^2 = 9 \Rightarrow a = \pm 3$$

Ответ для пункта а):

Функция имеет одну стационарную точку, если

$$\boxed{a = \pm 3}$$

б) $y = x^3 — 3a x^2 + 75x — 10$

Шаг 1. Найдём производную

$$y'(x) = 3x^2 — 6a x + 75$$

Шаг 2. Приравняем к нулю

$$3x^2 — 6a x + 75 = 0$$

Разделим на 3:

$$x^2 — 2a x + 25 = 0$$

Шаг 3. Анализируем дискриминант

$$D = (-2a)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 25 = 4a^2 — 100$$

Шаг 4. Когда одно решение?

Один корень — если дискриминант равен нулю:

$$4a^2 — 100 = 0 \Rightarrow a^2 = 25 \Rightarrow a = \pm 5$$

Ответ для пункта б):

Функция имеет одну стационарную точку, если

$$\boxed{{\displaystyle a=\pm 5}}$$