ГДЗ 10-11 Класс Номер 30.38 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти точки экстремума заданной функции и определить их характер:

а) $y = 7 + 12x — x^3$;
Производная функции:
$y'(x) = (7 + 12x)’ — (x^3)’ = 12 — 3x^2$;
Промежуток возрастания:
$12 — 3x^2 \geq 0$;
$4 — x^2 \geq 0$;
$x^2 — 4 \leq 0$;
$(x + 2)(x — 2) \leq 0$;
$-2 \leq x \leq 2$;
Ответ: $x = -2$ — точка минимума;
$x = 2$ — точка максимума.

б) $y = 8 + 2x^2 — x^4$;
Производная функции:
$y'(x) = (8)’ + 2(x^2)’ — (x^4)’$;
$y'(x) = 0 + 2 \cdot 2x — 4x^3 = 4x — 4x^3$;
Промежуток возрастания:
$4x — 4x^3 \geq 0$;
$4x(1 — x^2) \geq 0$;
$x(x^2 — 1) \leq 0$;
$(x + 1)x(x — 1) \leq 0$;
$x \leq -1$ или $0 \leq x \leq 1$;
Ответ: $x = 0$ — точка минимума;
$x = \pm 1$ — точка максимума.

в) $y = 3x^3 + 2x^2 — 7$;
Производная функции:
$y'(x) = (3x^3)’ + 2(x^2)’ — (7)’$;
$y'(x) = 3 \cdot 3x^2 + 2 \cdot 2x — 0 = 9x^2 + 4x$;
Промежуток возрастания:
$9x^2 + 4x \geq 0$;
$(9x + 4)x \geq 0$;
$x \leq -\frac{4}{9}$ или $x \geq 0$;
Ответ: $x = 0$ — точка минимума;
$x = -\frac{4}{9}$ — точка максимума.

г) $y = x^4 — 8x^2$;
Производная функции:
$y'(x) = (x^4)’ — 8(x^2)’$;
$y'(x) = 4x^3 — 8 \cdot 2x = 4x^3 — 16x$;
Промежуток возрастания:
$4x^3 — 16x \geq 0$;
$4x(x^2 — 4) \geq 0$;
$(x + 2)x(x — 2) \geq 0$;
$-2 \leq x \leq 0$ или $x \geq 2$;
Ответ: $x = \pm 2$ — точка минимума;
$x = 0$ — точка максимума.

а) $y = 7 + 12x — x^3$

1. Найдём первую производную функции

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(7 + 12x — x^3)$$

Разберёмся по членам:

• $\frac{d}{dx}(7) = 0$, так как это постоянная;
• $\frac{d}{dx}(12x) = 12$, производная линейного члена;
• $\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$, по правилу степени.

Итак,

$$y'(x) = 0 + 12 — 3x^2 = 12 — 3x^2$$

2. Найдём критические точки — приравняем производную к нулю:

$$12 — 3x^2 = 0$$

Решим уравнение:

$$3x^2 = 12 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm2$$

3. Исследуем знак производной на промежутках:

Разобьём ось на интервалы: $(-\infty, -2)$, $(-2, 2)$, $(2, \infty)$

На интервале $(-\infty, -2)$:

Выберем $x = -3$:

$$y'(-3) = 12 — 3(-3)^2 = 12 — 27 = -15 < 0$$

Производная отрицательна → функция убывает.

На интервале $(-2, 2)$:

Выберем $x = 0$:

$$y'(0) = 12 — 0 = 12 > 0$$

Производная положительна → функция возрастает.

На интервале $(2, \infty)$:

Выберем $x = 3$:

$$y'(3) = 12 — 3 \cdot 9 = 12 — 27 = -15 < 0$$

Производная отрицательна → функция убывает.

4. Делаем вывод об экстремумах:

• В точке $x = -2$: слева функция убывает, справа возрастает → минимум.
• В точке $x = 2$: слева функция возрастает, справа убывает → максимум.

Ответ:

• $x = -2$ — точка минимума
• $x = 2$ — точка максимума

б) $y = 8 + 2x^2 — x^4$

1. Найдём первую производную:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(8 + 2x^2 — x^4)$$

Разберём по членам:

• $\frac{d}{dx}(8) = 0$
• $\frac{d}{dx}(2x^2) = 4x$
• $\frac{d}{dx}(x^4) = 4x^3$

Итак:

$$y'(x) = 4x — 4x^3$$

2. Найдём критические точки:

$$y'(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad 4x — 4x^3 = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$4x(1 — x^2) = 0$$ $$4x(1 — x)(1 + x) = 0$$

Следовательно, критические точки: $x = 0, \, x = 1, \, x = -1$

3. Исследуем знаки производной на интервалах:

Разбиваем ось: $(-\infty, -1), (-1, 0), (0, 1), (1, \infty)$

$x = -2$:

$$y'(-2) = 4(-2)(1 — 4) = -8 \cdot (-3) = 24 > 0 \Rightarrow \uparrow$$

$x = -0.5$:

$$y'(-0.5) = 4(-0.5)(1 — 0.25) = -2(0.75) = -1.5 < 0 \Rightarrow \downarrow$$

$x = 0.5$:

$$y'(0.5) = 4(0.5)(1 — 0.25) = 2 \cdot 0.75 = 1.5 > 0 \Rightarrow \uparrow$$

$x = 2$:

$$y'(2) = 4(2)(1 — 4) = 8 \cdot (-3) = -24 < 0 \Rightarrow \downarrow$$

4. Характер критических точек:

• $x = -1$: производная меняет знак $+ \to —$ → максимум
• $x = 0$: производная меняет знак $— \to +$ → минимум
• $x = 1$: производная меняет знак $+ \to —$ → максимум

Ответ:

• $x = -1, x = 1$ — точки максимума
• $x = 0$ — точка минимума

в) $y = 3x^3 + 2x^2 — 7$

1. Найдём первую производную:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(3x^3 + 2x^2 — 7) = 9x^2 + 4x$$

2. Критические точки:

$$y'(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad 9x^2 + 4x = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$x(9x + 4) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \quad \text{или} \quad x = -\frac{4}{9}$$

3. Исследуем знаки производной:

Разбиваем ось: $(-\infty, -\frac{4}{9}), (-\frac{4}{9}, 0), (0, \infty)$

$x = -1$:

$$y'(-1) = 9 \cdot 1 — 4 = 5 > 0 \Rightarrow \uparrow$$

$x = -0.2$:

$$y'(-0.2) = 9 \cdot 0.04 — 0.8 = 0.36 — 0.8 = -0.44 < 0 \Rightarrow \downarrow$$

$x = 1$:

$$y'(1) = 9 + 4 = 13 > 0 \Rightarrow \uparrow$$

4. Характер критических точек:

• $x = -\frac{4}{9}$: производная $+ \to —$ → максимум
• $x = 0$: производная $— \to +$ → минимум

Ответ:

• $x = -\frac{4}{9}$ — точка максимума
• $x = 0$ — точка минимума

г) $y = x^4 — 8x^2$

1. Первая производная:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 — 8x^2) = 4x^3 — 16x$$

2. Критические точки:

$$4x^3 — 16x = 0 \quad \Rightarrow \quad 4x(x^2 — 4) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0, \pm 2$$

3. Знаки производной:

Разбиваем ось: $(-\infty, -2), (-2, 0), (0, 2), (2, \infty)$

$x = -3$:

$$y'(-3) = 4(-27) + 48 = -108 + 48 = -60 < 0 \Rightarrow \downarrow$$

$x = -1$:

$$y'(-1) = 4(-1) + 16 = -4 + 16 = 12 > 0 \Rightarrow \uparrow$$

$x = 1$:

$$y'(1) = 4(1) — 16 = -12 < 0 \Rightarrow \downarrow$$

$x = 3$:

$$y'(3) = 4(27) — 48 = 108 — 48 = 60 > 0 \Rightarrow \uparrow$$

4. Характер критических точек:

• $x = -2$: $\downarrow \to \uparrow$ → минимум
• $x = 0$: $\uparrow \to \downarrow$ → максимум
• $x = 2$: $\downarrow \to \uparrow$ → минимум

Ответ:

• $x = \pm 2$ — точки минимума
• $x = 0$ — точка максимума